Μπορεί να γίνεται

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10303
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μπορεί να γίνεται

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 09, 2018 7:06 pm

Μπορεί  να  γίνεται.png
Μπορεί να γίνεται.png (7.62 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές
Σε τμήμα AC υπάρχει σημείο S , ώστε : AS=2, SC=4 . Θεωρούμε σημείο B έξω από το τμήμα ,

ώστε : SB=3 . Γράφουμε τον κύκλο : (A,B,C) . Μπορούμε άραγε να υπολογίσουμε την ακτίνα

του κύκλου αυτού συναρτήσει της γωνίας \widehat{CSB} ; Αν O το κέντρο του κύκλου , μπορούμε να επιλέξουμε

τη θέση του SB , με τρόπο ώστε : SB=SO και πόση είναι τότε η ακτίνα του κύκλου ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7570
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μπορεί να γίνεται

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 09, 2018 7:54 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 09, 2018 7:06 pm
Μπορεί να γίνεται.pngΣε τμήμα AC υπάρχει σημείο S , ώστε : AS=2, SC=4 . Θεωρούμε σημείο B έξω από το τμήμα ,

ώστε : SB=3 . Γράφουμε τον κύκλο : (A,B,C) . Μπορούμε άραγε να υπολογίσουμε την ακτίνα

του κύκλου αυτού συναρτήσει της γωνίας \widehat{CSB} ; Αν O το κέντρο του κύκλου , μπορούμε να επιλέξουμε

τη θέση του SB , με τρόπο ώστε : SB=SO και πόση είναι τότε η ακτίνα του κύκλου ;

Το πρώτο ερώτημα είναι υπό εξέταση. Το δεύτερο είναι απλό. \displaystyle 2 \cdot 4 = {R^2} - S{O^2} \Leftrightarrow R = \sqrt {17}

Ο κύκλος λοιπόν είναι γνωστός και τα σημεία τομής του με τον κύκλο (S,3) προσδιορίζουν τις δύο θέσεις του σημείου B.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6207
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μπορεί να γίνεται

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Νοέμ 09, 2018 10:14 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 09, 2018 7:06 pm
Μπορεί να γίνεται.pngΣε τμήμα AC υπάρχει σημείο S , ώστε : AS=2, SC=4 . Θεωρούμε σημείο B έξω από το τμήμα ,

ώστε : SB=3 . Γράφουμε τον κύκλο : (A,B,C) . Μπορούμε άραγε να υπολογίσουμε την ακτίνα

του κύκλου αυτού συναρτήσει της γωνίας \widehat{CSB} ; Αν O το κέντρο του κύκλου , μπορούμε να επιλέξουμε

τη θέση του SB , με τρόπο ώστε : SB=SO και πόση είναι τότε η ακτίνα του κύκλου ;
Γίνεται να βρούμε την ακτίνα_1.png
Γίνεται να βρούμε την ακτίνα_1.png (21.98 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές
Ας είναι \widehat {BSC} = \theta  < 90^\circ με το B στο άνω ημιεπίπεδο . και BK = h το ύψος του \vartriangle ABCΤότε :

\left\{ \begin{gathered} 
  a = \sqrt {16 + 9 - 2 \cdot 3 \cdot 4\cos \theta }  \hfill \\ 
  c = \sqrt {9 + 4 + 2 \cdot 3 \cdot 2\cos \theta }  \hfill \\ 
  h = 3\sin \theta  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. .

Αφού: ac = 2Rh \Rightarrow \boxed{R = \frac{{\sqrt {25 - 24\cos \theta } \, \cdot \sqrt {13 + 12\cos \theta } }}{{6\sin \theta }}}

Στην άλλη περίπτωση δίνω την κατασκευή χωρίς υπολογισμούς
Γίνεται να βρούμε την ακτίνα_2.png
Γίνεται να βρούμε την ακτίνα_2.png (19.87 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές
Γράφω το κύκλο {K_1} \to (S,3) που τέμνει τη μεσοκάθετο ευθεία {g_1} σε δύο σημεία.

Έστω O το ένα απ’ αυτά ( π. χ. στο κάτω ημιεπίπεδο ) . Ο κύκλος (O,OC) τέμνει τον κύκλο (S,3) έν γένει σε δύο σημεία B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B' που είναι αυτά που θέλω.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7570
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μπορεί να γίνεται

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 10, 2018 11:24 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 09, 2018 7:06 pm
Μπορεί να γίνεται.pngΣε τμήμα AC υπάρχει σημείο S , ώστε : AS=2, SC=4 . Θεωρούμε σημείο B έξω από το τμήμα ,

ώστε : SB=3 . Γράφουμε τον κύκλο : (A,B,C) . Μπορούμε άραγε να υπολογίσουμε την ακτίνα

του κύκλου αυτού συναρτήσει της γωνίας \widehat{CSB} ; Αν O το κέντρο του κύκλου , μπορούμε να επιλέξουμε

τη θέση του SB , με τρόπο ώστε : SB=SO και πόση είναι τότε η ακτίνα του κύκλου ;
Για το πρώτο ερώτημα, το ίδιο αποτέλεσμα με το φίλο Νίκο, αλλά λίγο διαφορετικά. Έστω O, B εκατέρωθεν της AC.
Μπορεί να γίνεται.png
Μπορεί να γίνεται.png (14.02 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές
Νόμος συνημιτόνων στο SBC: \boxed{a = \sqrt {25 - 24\cos \theta }}

Θεώρημα Stewart στο ABC: \displaystyle 4{c^2} + 2{a^2} = 54 + 48 \Leftrightarrow \boxed{c = \sqrt {13 + 12\cos \theta }}

Νόμος ημιτόνων στοASB: \displaystyle \frac{3}{{\sin \varphi }} = \frac{c}{{\sin \theta }} \Leftrightarrow \frac{3}{{a/2R}} = \frac{c}{{\sin \theta }} \Leftrightarrow \boxed{R = \frac{{\sqrt {13 + 12\cos \theta }  \cdot \sqrt {25 - 24\cos \theta } }}{{6\sin \theta }}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης