Αγνώστων λοιπών στοιχείων

KARKAR · #1

: Αγνώστων λοιπών στοιχείων.png (14.33 KiB) Προβλήθηκε 496 φορές

Το σημείο

είναι το έγκεντρο του τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Ο έγκυκλος του τριγώνου , τέμνει τα τμήματα

AE,BE,CE

, στα σημεία P,S,T

αντίστοιχα . Ψάχνουμε πληροφορίες για το τρίγωνο PST

,

( πλευρές , γωνίες , εμβαδόν ) . Εν πάση περιπτώσει , αν AB=5,AC=7,BC=8

,

υπολογίστε την γωνία $\widehat{PST}$ και την πλευρά

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 30, 2018 1:47 pm
Αγνώστων λοιπών στοιχείων.pngΤο σημείο είναι το έγκεντρο του τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Ο έγκυκλος του τριγώνου , τέμνει τα τμήματα

, στα σημεία αντίστοιχα . Ψάχνουμε πληροφορίες για το τρίγωνο ,

( πλευρές , γωνίες , εμβαδόν ) . Εν πάση περιπτώσει , αν ,

υπολογίστε την γωνία $\widehat{PST}$ και την πλευρά .

: Αγνώστων λοιπών στοιχείων.png (16.8 KiB) Προβλήθηκε 470 φορές

$\displaystyle S\widehat ET = 2S\widehat PT \Leftrightarrow 90^\circ + \frac{{\widehat A}}{2} = 2S\widehat PT \Leftrightarrow$ $\boxed{S\widehat PT = 45^\circ + \frac{{\widehat A}}{4}}$ Ομοίως, $\boxed{P\widehat TS = 45^\circ + \frac{{\widehat C}}{4}}$ $\boxed{P\widehat ST = 45^\circ + \frac{{\widehat B}}{4}}$

$\displaystyle \sin (S\widehat EH) = \frac{{SH}}{r} \Leftrightarrow$ $\boxed{ST = 2r\sin \left( {45^\circ + \frac{{\widehat A}}{4}} \right)}$ και, $\boxed{PT = 2r\sin \left( {45^\circ + \frac{{\widehat B}}{4}} \right)}$ $\boxed{PS = 2r\sin \left( {45^\circ + \frac{{\widehat C}}{4}} \right)}$

Γνωρίζοντας λοιπόν τις πλευρές, εύκολα προκύπτει το εμβαδόν. Στο παράδειγμά μας τώρα:

Με νόμο συνημιτόνων βρίσκω $\displaystyle \widehat B = 60^\circ \Leftrightarrow P\widehat ST = 45^\circ + \frac{{60^\circ }}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{P\widehat ST = 60^\circ }$ Είναι ακόμα,

$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8\sin 60^\circ = (ABC) = sr \Leftrightarrow 10\sqrt 3 = 10r \Leftrightarrow r = \sqrt 3 \Rightarrow PT = 2\sqrt 3 \sin 60^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{PT=3}$

Αγνώστων λοιπών στοιχείων

Αγνώστων λοιπών στοιχείων

Re: Αγνώστων λοιπών στοιχείων

Μέλη σε σύνδεση