Αγνώστων λοιπών στοιχείων

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10491
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αγνώστων λοιπών στοιχείων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Οκτ 30, 2018 1:47 pm

Αγνώστων  λοιπών  στοιχείων.png
Αγνώστων λοιπών στοιχείων.png (14.33 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές
Το σημείο E είναι το έγκεντρο του τριγώνου \displaystyle ABC . Ο έγκυκλος του τριγώνου , τέμνει τα τμήματα

AE,BE,CE , στα σημεία P,S,T αντίστοιχα . Ψάχνουμε πληροφορίες για το τρίγωνο PST ,

( πλευρές , γωνίες , εμβαδόν ) . Εν πάση περιπτώσει , αν AB=5,AC=7,BC=8 ,

υπολογίστε την γωνία \widehat{PST} και την πλευρά PT .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7823
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αγνώστων λοιπών στοιχείων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 30, 2018 5:07 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Οκτ 30, 2018 1:47 pm
Αγνώστων λοιπών στοιχείων.pngΤο σημείο E είναι το έγκεντρο του τριγώνου \displaystyle ABC . Ο έγκυκλος του τριγώνου , τέμνει τα τμήματα

AE,BE,CE , στα σημεία P,S,T αντίστοιχα . Ψάχνουμε πληροφορίες για το τρίγωνο PST ,

( πλευρές , γωνίες , εμβαδόν ) . Εν πάση περιπτώσει , αν AB=5,AC=7,BC=8 ,

υπολογίστε την γωνία \widehat{PST} και την πλευρά PT .
Αγνώστων λοιπών στοιχείων.png
Αγνώστων λοιπών στοιχείων.png (16.8 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές
\displaystyle S\widehat ET = 2S\widehat PT \Leftrightarrow 90^\circ  + \frac{{\widehat A}}{2} = 2S\widehat PT \Leftrightarrow \boxed{S\widehat PT = 45^\circ  + \frac{{\widehat A}}{4}} Ομοίως, \boxed{P\widehat TS = 45^\circ  + \frac{{\widehat C}}{4}} \boxed{P\widehat ST = 45^\circ  + \frac{{\widehat B}}{4}}

\displaystyle \sin (S\widehat EH) = \frac{{SH}}{r} \Leftrightarrow \boxed{ST = 2r\sin \left( {45^\circ  + \frac{{\widehat A}}{4}} \right)} και, \boxed{PT = 2r\sin \left( {45^\circ  + \frac{{\widehat B}}{4}} \right)} \boxed{PS = 2r\sin \left( {45^\circ  + \frac{{\widehat C}}{4}} \right)}

Γνωρίζοντας λοιπόν τις πλευρές, εύκολα προκύπτει το εμβαδόν. Στο παράδειγμά μας τώρα:

Με νόμο συνημιτόνων βρίσκω \displaystyle \widehat B = 60^\circ  \Leftrightarrow P\widehat ST = 45^\circ  + \frac{{60^\circ }}{4} \Leftrightarrow \boxed{P\widehat ST = 60^\circ } Είναι ακόμα,

\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8\sin 60^\circ  = (ABC) = sr \Leftrightarrow 10\sqrt 3  = 10r \Leftrightarrow r = \sqrt 3  \Rightarrow PT = 2\sqrt 3 \sin 60^\circ  \Leftrightarrow \boxed{PT=3}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης