Μεγιστοποίηση τμήματος

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση τμήματος.png (8.69 KiB) Προβλήθηκε 484 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , η πλευρά

παραμένει σταθερή ( ας πούμε

) ,

ενώ η

μεταβάλλεται . Η διάμεσος

τέμνει το ύψος

στο σημείο

.

Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του τμήματος

. Χρήση λογισμικού αποδεκτή .

#2

Δίνω μια πρώτη άχαρη λύση με συντεταγμένες και λογισμικό.

Έστω A(0,0), B(6,0), C(0,a), a>0

.

Τότε $\displaystyle M\left( {0,\frac{a}{2}} \right)$ , $\displaystyle CB:\;y = - \frac{a}{6}x + a,\;\;AD:\;y = \frac{6}{a}x,\;\;BM:\;y = - \frac{a}{{12}}x + \frac{a}{2}$ .

Άρα $\displaystyle D\left( {\frac{{6{a^2}}}{{36 + {a^2}}},\;\frac{{36a}}{{36 + {a^2}}}} \right)$ και $\displaystyle S\left( {\frac{{6{a^2}}}{{72 + {a^2}}},\;\frac{{36a}}{{72 + {a^2}}}} \right)$

Οπότε $\displaystyle SD = \sqrt {{{\left( {\frac{{6{a^2}}}{{36 + {a^2}}} - \frac{{6{a^2}}}{{72 + {a^2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{36a}}{{36 + {a^2}}} - \frac{{72a}}{{72 + {a^2}}}} \right)}^2}} = \frac{{216a\sqrt {36 + {a^2}} }}{{\left( {36 + {a^2}} \right)\left( {72 + {a^2}} \right)}}$ .

Προσεγγιστικά έχει μέγιστο για a = 5,3017

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 21, 2018 9:34 pm
Μεγιστοποίηση τμήματος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , η πλευρά παραμένει σταθερή ( ας πούμε ) ,

ενώ η μεταβάλλεται . Η διάμεσος τέμνει το ύψος στο σημείο .

Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του τμήματος . Χρήση λογισμικού αποδεκτή .

: Μεγιστοποίηση τμήματος.Κ.png (10.85 KiB) Προβλήθηκε 442 φορές

$\displaystyle \varphi = \widehat B - \omega \Rightarrow \tan \varphi = \frac{{\tan B - \tan \omega }}{{1 + \tan B\tan \omega }} \Leftrightarrow \tan \varphi = \frac{{6b}}{{72 + {b^2}}} \Leftrightarrow \frac{{DS}}{{BD}} = \frac{{6b}}{{72 + {b^2}}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{36 = aBD}$

$\displaystyle DS = \frac{{216b}}{{a(72 + {b^2})}} \Leftrightarrow$ $\boxed{DS = \frac{{216b}}{{(72 + {b^2})\sqrt {{b^2} + 36} }}}$ Με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω

$\boxed{{(DS)_{\max }} = \frac{3}{2}\sqrt {71 - 17\sqrt {17} }}$ για $\boxed{b = 3\sqrt {\sqrt {17} - 1} }$

rasini · #4

Νομίζω ότι το max του DS δεν είναι 5,3017 όπως γράφτηκε αλλά αρκετά μικρότερο, περίπου 1,4.

#5

rasini έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 22, 2018 4:13 pm
Νομίζω ότι το max του DS δεν είναι 5,3017 όπως γράφτηκε αλλά αρκετά μικρότερο, περίπου 1,4.

Καλησπέρα. Δεν έγραψα ότι αυτό είναι το μέγιστο του

. Έγραψα ότι το

παίρνει τη μέγιστη τιμή του όταν είναι περίπου AC = a =5,3017

.

Είναι η δεκαδική προσέγγιση της τιμής του b=AC

που βρήκε ο Γιώργος Βισβίκης παραπάνω.

#6

rasini έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 22, 2018 4:13 pm
Νομίζω ότι το max του DS δεν είναι 5,3017 όπως γράφτηκε αλλά αρκετά μικρότερο, περίπου 1,4.

Ο κ. Ρίζος δεν έγραψε ότι το μέγιστο είναι 5,3017,

αλλά ότι προσεγγιστικά έχει μέγιστο για a=5,3017,

όπου

είναι η τεταγμένη του σημείου

Με αντικατάσταση στον προηγούμενο τύπο, βρίσκεις τη μέγιστη τιμή.

Καλό είναι να διαβάζουμε προσεκτικά τις απαντήσεις πριν σχολιάσουμε την ορθότητα του αποτελέσματος.

Βλέπω ότι ήδη απάντησε ο Γιώργος Ρίζος.

Μεγιστοποίηση τμήματος

Μεγιστοποίηση τμήματος

Re: Μεγιστοποίηση τμήματος

Re: Μεγιστοποίηση τμήματος

Re: Μεγιστοποίηση τμήματος

Re: Μεγιστοποίηση τμήματος

Re: Μεγιστοποίηση τμήματος

Μέλη σε σύνδεση