Μεγιστοποίηση τμήματος

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10489
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγιστοποίηση τμήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Οκτ 21, 2018 9:34 pm

Μεγιστοποίηση  τμήματος.png
Μεγιστοποίηση τμήματος.png (8.69 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , η πλευρά AB παραμένει σταθερή ( ας πούμε 6 ) ,

ενώ η AC μεταβάλλεται . Η διάμεσος BM τέμνει το ύψος AD στο σημείο S .

Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του τμήματος SD . Χρήση λογισμικού αποδεκτή .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4287
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μεγιστοποίηση τμήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Οκτ 21, 2018 11:04 pm

Δίνω μια πρώτη άχαρη λύση με συντεταγμένες και λογισμικό.


Έστω A(0,0), B(6,0), C(0,a), a>0.

Τότε  \displaystyle M\left( {0,\frac{a}{2}} \right) ,  \displaystyle CB:\;y =  - \frac{a}{6}x + a,\;\;AD:\;y = \frac{6}{a}x,\;\;BM:\;y =  - \frac{a}{{12}}x + \frac{a}{2} .

Άρα  \displaystyle D\left( {\frac{{6{a^2}}}{{36 + {a^2}}},\;\frac{{36a}}{{36 + {a^2}}}} \right) και  \displaystyle S\left( {\frac{{6{a^2}}}{{72 + {a^2}}},\;\frac{{36a}}{{72 + {a^2}}}} \right)

Οπότε  \displaystyle SD = \sqrt {{{\left( {\frac{{6{a^2}}}{{36 + {a^2}}} - \frac{{6{a^2}}}{{72 + {a^2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{36a}}{{36 + {a^2}}} - \frac{{72a}}{{72 + {a^2}}}} \right)}^2}}  = \frac{{216a\sqrt {36 + {a^2}} }}{{\left( {36 + {a^2}} \right)\left( {72 + {a^2}} \right)}} .

Προσεγγιστικά έχει μέγιστο για a = 5,3017.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7821
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγιστοποίηση τμήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 22, 2018 9:28 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Οκτ 21, 2018 9:34 pm
Μεγιστοποίηση τμήματος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , η πλευρά AB παραμένει σταθερή ( ας πούμε 6 ) ,

ενώ η AC μεταβάλλεται . Η διάμεσος BM τέμνει το ύψος AD στο σημείο S .

Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του τμήματος SD . Χρήση λογισμικού αποδεκτή .
Μεγιστοποίηση τμήματος.Κ.png
Μεγιστοποίηση τμήματος.Κ.png (10.85 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές
\displaystyle \varphi  = \widehat B - \omega  \Rightarrow \tan \varphi  = \frac{{\tan B - \tan \omega }}{{1 + \tan B\tan \omega }} \Leftrightarrow \tan \varphi  = \frac{{6b}}{{72 + {b^2}}} \Leftrightarrow \frac{{DS}}{{BD}} = \frac{{6b}}{{72 + {b^2}}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{36 = aBD}

\displaystyle DS = \frac{{216b}}{{a(72 + {b^2})}} \Leftrightarrow \boxed{DS = \frac{{216b}}{{(72 + {b^2})\sqrt {{b^2} + 36} }}} Με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω

\boxed{{(DS)_{\max }} = \frac{3}{2}\sqrt {71 - 17\sqrt {17} }} για \boxed{b = 3\sqrt {\sqrt {17}  - 1} }


rasini
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2009 11:03 pm

Re: Μεγιστοποίηση τμήματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rasini » Δευ Οκτ 22, 2018 4:13 pm

Νομίζω ότι το max του DS δεν είναι 5,3017 όπως γράφτηκε αλλά αρκετά μικρότερο, περίπου 1,4.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4287
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μεγιστοποίηση τμήματος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Οκτ 22, 2018 4:44 pm

rasini έγραψε:
Δευ Οκτ 22, 2018 4:13 pm
Νομίζω ότι το max του DS δεν είναι 5,3017 όπως γράφτηκε αλλά αρκετά μικρότερο, περίπου 1,4.
Καλησπέρα. Δεν έγραψα ότι αυτό είναι το μέγιστο του DS. Έγραψα ότι το DS παίρνει τη μέγιστη τιμή του όταν είναι περίπου AC = a =5,3017.

Είναι η δεκαδική προσέγγιση της τιμής του b=AC που βρήκε ο Γιώργος Βισβίκης παραπάνω.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7821
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγιστοποίηση τμήματος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 22, 2018 4:45 pm

rasini έγραψε:
Δευ Οκτ 22, 2018 4:13 pm
Νομίζω ότι το max του DS δεν είναι 5,3017 όπως γράφτηκε αλλά αρκετά μικρότερο, περίπου 1,4.
Ο κ. Ρίζος δεν έγραψε ότι το μέγιστο είναι 5,3017, αλλά ότι προσεγγιστικά έχει μέγιστο για a=5,3017, όπου a είναι η τεταγμένη του σημείου C. Με αντικατάσταση στον προηγούμενο τύπο, βρίσκεις τη μέγιστη τιμή.

Καλό είναι να διαβάζουμε προσεκτικά τις απαντήσεις πριν σχολιάσουμε την ορθότητα του αποτελέσματος.


Βλέπω ότι ήδη απάντησε ο Γιώργος Ρίζος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες