Σταθερό μήκος παρά την κίνηση

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1292
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Σταθερό μήκος παρά την κίνηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Σεπ 05, 2018 11:43 pm

Χαιρετώ όλους .
Το θέμα που ακολουθεί είναι σύνθεση παλαιού θέματος (που είδα και βεβαίως μου άρεσε ) με άλλο θέμα που υπέβαλα πέρυσι.
Σταθερό μήκος.PNG
Σταθερό μήκος.PNG (6.67 KiB) Προβλήθηκε 632 φορές
Το (σταθερό) τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο με AB=AC και M το μέσον της BC.

Τα σημεία E,Z κινούνται πάνω στην BC ώστε πάντοτε
το ημικύκλιο διαμέτρου EZ να ορίζει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των πράσινων κυκλικών τομέων του σχήματος.

Σχηματίζουμε το τετράγωνο MELI εξωτερικά του τριγώνου. Αν N η τομή των LI, AZ τότε :

Να εξεταστεί αν το LN έχει σταθερό μήκος

Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Altrian
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Σταθερό μήκος παρά την κίνηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Σεπ 06, 2018 10:17 pm

Καλησπέρα,
Εστω x=AM=BM=CM. Από την ισότητα των εμβαδών των κυκλικών τομέων έχουμε:

\frac{\pi a^2}{8}+\frac{\pi b^2}{8}=\frac{\pi (2x-a-b)^2/4}{2} \Rightarrow 2x^2-2x(a+b)+ab=0. (1)

Επίσης έχουμε: \triangle AMZ\approx \triangle AIN\Rightarrow \frac{NI}{x-a}=\frac{2x-b}{x} \Rightarrow
NI = \frac{(x-a)(2x-b)}{x} (2)

LN=NI+(x-b).. και με βάση τις (1),(2) προκύπτει:
LN=x=ct

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Συνημμένα
stathero_mhkos.png
stathero_mhkos.png (48.74 KiB) Προβλήθηκε 575 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1292
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Σταθερό μήκος παρά την κίνηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Σεπ 08, 2018 11:51 am

Καλημέρα.Αλέξανδρε σ' ευχαριστώ για το ενδιαφέρον και την ωραία σου λύση !
Σε επόμενη δημοσίευση θα δώσω και την προσωπική προσέγγιση. Ας δούμε κάτι ακόμη :

Να εξεταστεί αν η γωνία \widehat{BCN} είναι -παρά την κίνηση των E,Z -επίσης σταθερή.
Φιλικά , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9591
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σταθερό μήκος παρά την κίνηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 08, 2018 2:08 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Σεπ 08, 2018 11:51 am
Καλημέρα.Αλέξανδρε σ' ευχαριστώ για το ενδιαφέρον και την ωραία σου λύση !
Σε επόμενη δημοσίευση θα δώσω και την προσωπική προσέγγιση. Ας δούμε κάτι ακόμη :

Να εξεταστεί αν η γωνία \widehat{BCN} είναι -παρά την κίνηση των E,Z -επίσης σταθερή.
Φιλικά , Γιώργος.
Καλό μεσημέρι!
Το πρώτο ερώτημα έχει ήδη απαντηθεί (δεν γράφω τη λύση μου γιατί μοιάζει πολύ με του Αλέξανδρου).
G.M.png
G.M.png (11.25 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές
Είναι \displaystyle NL|| = CM, άρα το CNLM είναι παραλληλόγραμμο και \boxed{B\widehat CN=N\widehat LM=45^0}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9591
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σταθερό μήκος παρά την κίνηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Σεπ 09, 2018 7:30 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τετ Σεπ 05, 2018 11:43 pm
Χαιρετώ όλους .
Το θέμα που ακολουθεί είναι σύνθεση παλαιού θέματος (που είδα και βεβαίως μου άρεσε ) με άλλο θέμα που υπέβαλα πέρυσι.
Σταθερό μήκος.PNG
Το (σταθερό) τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο με AB=AC και M το μέσον της BC.

Τα σημεία E,Z κινούνται πάνω στην BC ώστε πάντοτε
το ημικύκλιο διαμέτρου EZ να ορίζει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των πράσινων κυκλικών τομέων του σχήματος.

Σχηματίζουμε το τετράγωνο MELI εξωτερικά του τριγώνου. Αν N η τομή των LI, AZ τότε :

Να εξεταστεί αν το LN έχει σταθερό μήκος

Ευχαριστώ , Γιώργος.
Αυτό που επεδίωκε από την αρχή ο Γιώργος.
G.M.II.png
G.M.II.png (19.12 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές
\displaystyle \frac{{\pi E{Z^2}}}{8} = \frac{{\pi {R^2}}}{8} + \frac{{\pi {r^2}}}{8} \Leftrightarrow E{Z^2} = {R^2} + {r^2} και σύμφωνα με αυτήν θα είναι \boxed{E\widehat AZ=45^0}

To AEIN είναι εγγράψιμο (N\widehat AE+N\widehat IE=180^0), οπότε \displaystyle A\widehat NE = A\widehat IE = {45^0} = A\widehat CE.

Άρα τα σημεία A, E, I, N, C είναι ομοκυκλικά, οπότε και E\widehat CN=E\widehat AN=45^0=I\widehat LM. Επομένως:

CN||AB||ML, το MLNC είναι παραλληλόγραμμο και \boxed{LN=\frac{a}{2}=ct}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1292
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Σταθερό μήκος παρά την κίνηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Σεπ 10, 2018 1:58 am

Καλημέρα! Πράγματι Γιώργο κατά την κατασκευή της άσκησης είχα κατά νου αρχικά
αυτά που γράφεις στην α΄ γραμμή και με χρήση αυτού προκύπτει άμεσα LN=AM=BC/2

Την β' σκέψη μου την ...διάβασες ακριβώς !! Όπως γράφεις και συ μπορούμε εναλλακτικά να δείξουμε το αρχικό ζητούμενο
βρίσκοντας πρώτα ότι το MLNC είναι παραλληλόγραμμο , για τούτο και ζήτησα τον υπολογισμό της 45άρας γωνίας...

Να μην ξεχάσω Γιώργο να σ΄ευχαριστήσω για την πλήρη κάλυψη .. :coolspeak: .. ενός ακόμη εαρινού θέματος : ΕΔΩ...Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης