Μισό εμβαδόν

KARKAR · #1

: Μισό εμβαδόν.png (12.23 KiB) Προβλήθηκε 402 φορές

Έστω : $0<m<\dfrac{1}{2}$ . Στις πλευρές του τριγώνου $\displaystyle ABC$ θεωρούμε σημεία D,E,Z

,

ώστε : AD=mAB , BE= mBC , CZ=mCA

. Οι τομές των AE,BZ,CD

,

δημιουργούν το τρίγωνο PQS

. Βρείτε το

για το οποίο είναι : (ABC)=2(PQS)

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 20, 2018 10:43 am
Έστω : $0<m<\dfrac{1}{2}$ . Στις πλευρές του τριγώνου $\displaystyle ABC$ θεωρούμε σημεία ,

ώστε : . Οι τομές των ,

δημιουργούν το τρίγωνο . Βρείτε το για το οποίο είναι :

Υπάρχει ο τύπος του Routh που μας δίνει το εμβαδόν του μέσα τριγώνου, ακόμη και στην γενικότερη περίπτωση όπου έχουμε τρεις διαφορετικές παραμέτρους m_1, m_2, m_3

στην θέση του

. Βλέπε εδώ.

Στην περίπτωσή μας θέλουμε $\frac {(m^3-1)^2}{(m^2+m+1)^3}= \frac {1}{2}$ .

Λύνοντας την εκτοβάθμια με λογισμικό, βρήκα ότι έχει τέσσερις μιγαδικές ρίζες και τις $\frac {1}{2} (5\pm \sqrt {21})$ . Κρατάμε την μικρή (η άλλη είναι η αντίστροφή της).

Ο πειρασμός είναι να σχολιάσω ότι το σχήμα που παραθέτει ο Θανάσης μελετάται στην Συναγωγή του Πάππου. Π.χ. δείχνει ότι το μεγάλο τρίγωνο και το εσωτερικό έχουν το ίδιο κέντρο βάρους. Ο Πάππος το δείχνει με Συνθετική Γεωμετρία. Υπάρχει όμως απλή απόδειξη με Αναλυτική, που δείχνει ότι καμιά φορά η Αναλυτική Γεωμετρία έχει πλεονεκτήματα έναντι της (φυσικά πολλή κομψότερης) Συνθετικής.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 20, 2018 11:14 am

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 20, 2018 10:43 am
Έστω : $0<m<\dfrac{1}{2}$ . Στις πλευρές του τριγώνου $\displaystyle ABC$ θεωρούμε σημεία ,

ώστε : . Οι τομές των ,

δημιουργούν το τρίγωνο . Βρείτε το για το οποίο είναι :
Υπάρχει ο τύπος του Routh που μας δίνει το εμβαδόν του μέσα τριγώνου, ακόμη και στην γενικότερη περίπτωση όπου έχουμε τρεις διαφορετικές παραμέτρους στην θέση του . Βλέπε εδώ.

Στην περίπτωσή μας θέλουμε $\frac {(m^3-1)^2}{(m^2+m+1)^3}= \frac {1}{2}$ .

Λύνοντας την εκτοβάθμια με λογισμικό, βρήκα ότι έχει τέσσερις μιγαδικές ρίζες και τις $\frac {1}{2} (5\pm \sqrt {21})$ . Κρατάμε την μικρή (η άλλη είναι η αντίστροφή της).

Ο πειρασμός είναι να σχολιάσω ότι το σχήμα που παραθέτει ο Θανάσης μελετάται στην Συναγωγή του Πάππου. Π.χ. δείχνει ότι το μεγάλο τρίγωνο και το εσωτερικό έχουν το ίδιο κέντρο βάρους. Ο Πάππος το δείχνει με Συνθετική Γεωμετρία. Υπάρχει όμως απλή απόδειξη με Αναλυτική, που δείχνει ότι καμιά φορά η Αναλυτική Γεωμετρία έχει πλεονεκτήματα έναντι της (φυσικά πολλή κομψότερης) Συνθετικής.

Γεια σου Μιχάλη.

Η $\frac {(m^3-1)^2}{(m^2+m+1)^3}= \frac {1}{2}$

είναι ισοδύναμη με την

$2(m-1)^{2}=m^{2}+m+1$

που φυσικά δεν χρειάζεται λογισμικό .

KARKAR · #4

Ας κάνουμε και την εξής συμπλήρωση : Ο λόγος

του θεωρήματος Routh , είναι το πηλίκο : "μεγάλο

προς μικρό " , που στην περίπτωσή μας είναι το : $\dfrac{1-m}{m}$ , οπότε με : $x=y=z=\dfrac{5+\sqrt{21}}{2}$ ,

παίρνουμε : $m=\dfrac{7-\sqrt{21}}{14}\simeq 0.17267...$

Μισό εμβαδόν

Μισό εμβαδόν

Re: Μισό εμβαδόν

Re: Μισό εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση