Και λίγη τριγωνομετρία-18.

Συντονιστής: gbaloglou

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Και λίγη τριγωνομετρία-18.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τρί Αύγ 07, 2018 9:15 pm

2.png
2.png (14.67 KiB) Προβλήθηκε 479 φορές

Καλησπέρα.

Το τετράπλευρο ABCD του παραπάνω σχήματος είναι παραλληλόγραμμο.
Αν \sigma \upsilon \nu \theta =\dfrac{1}{3}, να υπολογίσετε το εμβαδόν της χρωματιστής επιφάνειας.



Λέξεις Κλειδιά:
kfd
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Και λίγη τριγωνομετρία-18.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Τρί Αύγ 07, 2018 11:07 pm

Το κίτρινο εγγράψιμο, άρα cosC=-\frac{1}{3}\Rightarrow sinC=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
\left ( ADC \right )=10DC,\left ( ABC \right )=16BC, άρα 5DC=8BC(1).
\left ( ABCD \right )=2\left ( DBC \right )=DC\cdot BC\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}\Rightarrow 20DC=DC\cdot BC\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \Rightarrow BC=15\sqrt{2}. Από (1) DC=24\sqrt{2}, BC=15\sqrt{2}.
\left ( ABC \right )=\frac{32\cdot BC}{2}=240\sqrt{2}.
tanD=-tanC=2\sqrt{2}=\frac{20}{DE}\Rightarrow DE=5\sqrt{2},CE=19\sqrt{2} \Rightarrow \left ( AEC \right )=190\sqrt{2}.
tanB=\frac{32}{BF}=2\sqrt{2}\Rightarrow BF=8\sqrt{2},FC=7\sqrt{2}, \left ( AFC \right )=112\sqrt{2}\Rightarrow E=302\sqrt{2}.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7903
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Και λίγη τριγωνομετρία-18.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Αύγ 08, 2018 12:50 pm

Περίπου τα ίδια

και λίγη τριγωνομετρίια 18.png
και λίγη τριγωνομετρίια 18.png (17.48 KiB) Προβλήθηκε 428 φορές
Είναι προφανές ότι D = B = \theta γιατί κάθε μια είναι ίση με την εξωτερική γωνία του εγγραψίμου τετραπλεύρου στο C.

Θέτω DE = u,\,\,EC = x = a - u\,\,,\,\,BF = v\,\,,\,\,CF = y = b - v .

Επειδή (ABCD) = 20a = 32b \Rightarrow \boxed{a = \frac{8}{5}b}\,\,\,(1) . Επίσης

\left\{ \begin{gathered} 
  \sin \theta  = \sqrt {1 - \frac{1}{9}}  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \hfill \\ 
  \tan \theta  = 2\sqrt 2  \hfill \\ 
  b = \frac{{20}}{{\sin \theta }} = \frac{{30}}{{\sqrt 2 }} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.\,\,\,(2) . Το εμβαδόν που ζητώ είναι λόγω των (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) :

\dfrac{{20x + 32y}}{2} = 10x + 16y = 10(a - u) + 16(b - v) = 10(\dfrac{8}{5}b - \dfrac{{20}}{{\tan \theta }}) + 16(b - \dfrac{{32}}{{\tan \theta }})


Δηλαδή: \boxed{(AECF) = 32b - \dfrac{{712}}{{\tan \theta }} = 302\sqrt 2 }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10445
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Και λίγη τριγωνομετρία-18.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Αύγ 08, 2018 3:11 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Τρί Αύγ 07, 2018 9:15 pm
2.png


Καλησπέρα.

Το τετράπλευρο ABCD του παραπάνω σχήματος είναι παραλληλόγραμμο.
Αν \sigma \upsilon \nu \theta =\dfrac{1}{3}, να υπολογίσετε το εμβαδόν της χρωματιστής επιφάνειας.
Τριγωνομετρία 18.png
Τριγωνομετρία 18.png (14.04 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές
Φέρνω EH\bot AF. Από τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας \theta στα τρίγωνα ADE, AEH, AFB βρίσκω:

\displaystyle AB = CD = 24\sqrt 2 ,BC = AD = 15\sqrt 2 ,AH = \frac{{20}}{3},EH = \frac{{40\sqrt 2 }}{3},BF = 8\sqrt 2

Άρα, \displaystyle HF = 32 - \frac{{20}}{3} = \frac{{76}}{3} και \displaystyle CF = 15\sqrt 2  - 8\sqrt 2  = 7\sqrt 2 . Οπότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

\displaystyle (AECF) = (AEH) + (EHFC) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{20}}{3} \cdot \frac{{40\sqrt 2 }}{3} + \frac{{\frac{{40\sqrt 2 }}{3} + 7\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{76}}{3} \Leftrightarrow \boxed{(AECF)=302\sqrt 2}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2055
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Και λίγη τριγωνομετρία-18.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Αύγ 08, 2018 4:50 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Τρί Αύγ 07, 2018 9:15 pm
2.png


Καλησπέρα.

Το τετράπλευρο ABCD του παραπάνω σχήματος είναι παραλληλόγραμμο.
Αν \sigma \upsilon \nu \theta =\dfrac{1}{3}, να υπολογίσετε το εμβαδόν της χρωματιστής επιφάνειας.

\displaystyle \theta  + \phi  = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \theta  = \sin \phi  = \frac{1}{3} = \frac{{DE}}{y} = \frac{{BF}}{x} \Rightarrow 3DE = y,3BF = x

Από Π.Θ στα \displaystyle \vartriangle ADE,ABF \Rightarrow DE = 5\sqrt 2 ,BF = 8\sqrt 2  \Rightarrow \left( {AED} \right) = 50\sqrt 2 ,\left( {ABF} \right) = 128\sqrt 2

\displaystyle \left( {ABCD} \right) = 32y = 32 \cdot 15\sqrt 2  = 480\sqrt 2

\displaystyle \boxed{S = \left( {ABCD} \right) - \left( {AED} \right) - \left( {ABF} \right) = 302\sqrt 2 }
L.T.png
L.T.png (18.48 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7903
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Και λίγη τριγωνομετρία-18.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Αύγ 08, 2018 11:25 pm

Τελικά το παραλληλόγραμμο δεν είναι απαραίτητο .
και λίγη τριγωνομετρίια 18_new.png
και λίγη τριγωνομετρίια 18_new.png (20.29 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές
Στο τρίγωνο AEF με Θ. συνημίτονου βρίσκω: EF = \dfrac{{4\sqrt {561} }}{3} , με Θ. ημιτόνου

EF = \dfrac{{4R\sqrt 2 }}{3} και άρα \boxed{R = \sqrt {\frac{{561}}{2}} } έτσι με Π. Θ. στα \vartriangle AEC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AFC\,\, προκύπτει

x = 19\sqrt 2 \,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = 7\sqrt 2 οπότε (AECF) = 10x + 16y = 190\sqrt 2  + 112\sqrt 2  = 302\sqrt 2 .


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Και λίγη τριγωνομετρία-18.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τετ Αύγ 08, 2018 11:47 pm

Πράγματι Νίκο.
Το παραλληλόγραμμο δεν είναι απαραίτητο.
Η άσκηση λύνεται κάνοντας παιχνίδι εντός του εγγράψιμου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης