Και λίγη τριγωνομετρία-18.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 2.png (14.67 KiB) Προβλήθηκε 664 φορές

Καλησπέρα.

Το τετράπλευρο ABCD

του παραπάνω σχήματος είναι παραλληλόγραμμο.
Αν $\sigma \upsilon \nu \theta =\dfrac{1}{3}$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν της χρωματιστής επιφάνειας.

kfd · #2

Το κίτρινο εγγράψιμο, άρα $cosC=-\frac{1}{3}\Rightarrow sinC=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$
$\left ( ADC \right )=10DC,\left ( ABC \right )=16BC$ , άρα 5DC=8BC(1)

.
$\left ( ABCD \right )=2\left ( DBC \right )=DC\cdot BC\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}\Rightarrow 20DC=DC\cdot BC\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \Rightarrow BC=15\sqrt{2}$ . Από (1) $DC=24\sqrt{2}, BC=15\sqrt{2}$ .
$\left ( ABC \right )=\frac{32\cdot BC}{2}=240\sqrt{2}$ .
$tanD=-tanC=2\sqrt{2}=\frac{20}{DE}\Rightarrow DE=5\sqrt{2},CE=19\sqrt{2} \Rightarrow \left ( AEC \right )=190\sqrt{2}.$
$tanB=\frac{32}{BF}=2\sqrt{2}\Rightarrow BF=8\sqrt{2},FC=7\sqrt{2}, \left ( AFC \right )=112\sqrt{2}\Rightarrow E=302\sqrt{2}.$

#3

Περίπου τα ίδια

: και λίγη τριγωνομετρίια 18.png (17.48 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές

Είναι προφανές ότι $D = B = \theta$ γιατί κάθε μια είναι ίση με την εξωτερική γωνία του εγγραψίμου τετραπλεύρου στο

.

Θέτω $DE = u,\,\,EC = x = a - u\,\,,\,\,BF = v\,\,,\,\,CF = y = b - v$ .

Επειδή $(ABCD) = 20a = 32b \Rightarrow \boxed{a = \frac{8}{5}b}\,\,\,(1)$ . Επίσης

$\left\{ \begin{gathered} \sin \theta = \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \hfill \\ \tan \theta = 2\sqrt 2 \hfill \\ b = \frac{{20}}{{\sin \theta }} = \frac{{30}}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,(2)$ . Το εμβαδόν που ζητώ είναι λόγω των $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ :

$\dfrac{{20x + 32y}}{2} = 10x + 16y = 10(a - u) + 16(b - v) = 10(\dfrac{8}{5}b - \dfrac{{20}}{{\tan \theta }}) + 16(b - \dfrac{{32}}{{\tan \theta }})$

Δηλαδή: $\boxed{(AECF) = 32b - \dfrac{{712}}{{\tan \theta }} = 302\sqrt 2 }$

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 07, 2018 9:15 pm
2.png

Καλησπέρα.

Το τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος είναι παραλληλόγραμμο.
Αν $\sigma \upsilon \nu \theta =\dfrac{1}{3}$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν της χρωματιστής επιφάνειας.

: Τριγωνομετρία 18.png (14.04 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές

Φέρνω $EH\bot AF.$ Από τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας $\theta$ στα τρίγωνα ADE, AEH, AFB

βρίσκω:

$\displaystyle AB = CD = 24\sqrt 2 ,BC = AD = 15\sqrt 2 ,AH = \frac{{20}}{3},EH = \frac{{40\sqrt 2 }}{3},BF = 8\sqrt 2$

Άρα, $\displaystyle HF = 32 - \frac{{20}}{3} = \frac{{76}}{3}$ και $\displaystyle CF = 15\sqrt 2 - 8\sqrt 2 = 7\sqrt 2 .$ Οπότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

$\displaystyle (AECF) = (AEH) + (EHFC) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{20}}{3} \cdot \frac{{40\sqrt 2 }}{3} + \frac{{\frac{{40\sqrt 2 }}{3} + 7\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{76}}{3} \Leftrightarrow$ $\boxed{(AECF)=302\sqrt 2}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 07, 2018 9:15 pm
2.png

Καλησπέρα.

Το τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος είναι παραλληλόγραμμο.
Αν $\sigma \upsilon \nu \theta =\dfrac{1}{3}$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν της χρωματιστής επιφάνειας.

$\displaystyle \theta + \phi = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \theta = \sin \phi = \frac{1}{3} = \frac{{DE}}{y} = \frac{{BF}}{x} \Rightarrow 3DE = y,3BF = x$

Από Π.Θ στα $\displaystyle \vartriangle ADE,ABF \Rightarrow DE = 5\sqrt 2 ,BF = 8\sqrt 2 \Rightarrow \left( {AED} \right) = 50\sqrt 2 ,\left( {ABF} \right) = 128\sqrt 2$

$\displaystyle \left( {ABCD} \right) = 32y = 32 \cdot 15\sqrt 2 = 480\sqrt 2$

$\displaystyle \boxed{S = \left( {ABCD} \right) - \left( {AED} \right) - \left( {ABF} \right) = 302\sqrt 2 }$

: L.T.png (18.48 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

#6

Τελικά το παραλληλόγραμμο δεν είναι απαραίτητο .

: και λίγη τριγωνομετρίια 18_new.png (20.29 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

Στο τρίγωνο AEF

με Θ. συνημίτονου βρίσκω: $EF = \dfrac{{4\sqrt {561} }}{3}$ , με Θ. ημιτόνου

$EF = \dfrac{{4R\sqrt 2 }}{3}$ και άρα $\boxed{R = \sqrt {\frac{{561}}{2}} }$ έτσι με Π. Θ. στα $\vartriangle AEC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AFC\,\,$ προκύπτει

$x = 19\sqrt 2 \,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = 7\sqrt 2$ οπότε $(AECF) = 10x + 16y = 190\sqrt 2 + 112\sqrt 2 = 302\sqrt 2$ .

Φανης Θεοφανιδης · #7

Πράγματι Νίκο.
Το παραλληλόγραμμο δεν είναι απαραίτητο.
Η άσκηση λύνεται κάνοντας παιχνίδι εντός του εγγράψιμου.

Και λίγη τριγωνομετρία-18.

Και λίγη τριγωνομετρία-18.

Re: Και λίγη τριγωνομετρία-18.

Re: Και λίγη τριγωνομετρία-18.

Re: Και λίγη τριγωνομετρία-18.

Re: Και λίγη τριγωνομετρία-18.

Re: Και λίγη τριγωνομετρία-18.

Re: Και λίγη τριγωνομετρία-18.

Μέλη σε σύνδεση