Παράξενο μέγιστο 9

KARKAR · #1

: Παράξενο μέγιστο 9.png (21.33 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές

Οι τρεις ομόκεντροι κύκλοι του σχήματος έχουν ακτίνες 1,2

και

. Το ορθογώνιο τρίγωνο

$\displaystyle ABC$ , έχει την κορυφή

της ορθής γωνίας στον μικρότερο κύκλο , τη

στον μεσαίο

και την

στον μεγάλο . Υπολογίστε το μέγιστο μήκος της υποτείνουσας

του τριγώνου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 07, 2018 2:12 pm
Παράξενο μέγιστο 9.pngΟι τρεις ομόκεντροι κύκλοι του σχήματος έχουν ακτίνες και . Το ορθογώνιο τρίγωνο

$\displaystyle ABC$ , έχει την κορυφή της ορθής γωνίας στον μικρότερο κύκλο , τη στον μεσαίο

και την στον μεγάλο . Υπολογίστε το μέγιστο μήκος της υποτείνουσας του τριγώνου .

: Παράξενο μέγιστο 9.png (39.49 KiB) Προβλήθηκε 663 φορές

Πιο βράδυ θα γράψω την αμιγώς γεωμετρική λύση πλήρως ( δεν είναι μεγάλης έκτασης)

$\boxed{B{C_{\max }} = 2(\sqrt 3 + \dfrac{1}{2}) = 2\sqrt 3 + 1}$

Ας είναι

το μέσο του

και

το μέσο του

.Από το α θεώρημα διαμέσων στα $\vartriangle ABO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ACO$ έχω:

: Παράξενο μέγιστο 9_λύση.png (40.87 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές

$\left\{ \begin{gathered} A{B^2} + 4 = 2B{K^2} + \frac{1}{2} \hfill \\ A{C^2} + 9 = 2C{K^2} + \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} + 13 = 2(B{K^2} + C{K^2}) + 1\,\,\,(1)$ .

Αλλά πάλι από το ίδιο θεώρημα στο $\vartriangle KBC$ έχω : $B{K^2} + C{K^2} = 2M{K^2} + \dfrac{{B{C^2}}}{2}\,\,(2)$

και έτσι η (1)

δίδει $\boxed{M{K^2} = 3}$ δηλαδή το

διαγράφει το κύκλο $(K,\sqrt 3 )$ .

Αν η

προεκταθεί πέραν του

και κόψει αυτόν τον κύκλο στο

, επειδή

$\widehat {APM} \leqslant \widehat {AMP} \Leftrightarrow AM \leqslant AP = AK + KP = \sqrt 3 + \dfrac{1}{2}$ και αφού $BC = 2AM \Rightarrow \boxed{B{C_{\max }} = 2\sqrt 3 + 1}$

Altrian · #3

Εστω

ο κύκλος με διάμετρο την

και

το μέσο του

. Ο κύκλος

τέμνει τον μοναδιαίο κύκλο εν γένει σε 2 σημεία. Μεγιστοποιείται δε (το μέγεθός του και άρα η ζητούμενη διάμετρός του) όταν τα σημεία αυτά ταυτίζονται (στο

). Τότε ο μοναδιαίος κύκλος και ο κύκλος

εφάπτονται εσωτερικά στο

και επομένως τα σημεία A, O, M

είναι συνευθειακά.
Από θ. διααμέσων στο $\triangle OBC$ παίρνουμε:
$OB^2 + OC^2= 2OM^2 + \frac{BC^2}{2}$
Θέτουμε MB=MC=MA=x

και επομένως MO=x-1

.
Επομένως έχουμε:
4+9=2(x-1)^2+2x^2

που δίνει αποδεκτή λύση την $x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}$ . Επομένως το ζητούμενο μέγιστο είναι
$2x=2\sqrt{3}+1$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 07, 2018 2:12 pm
Παράξενο μέγιστο 9.pngΟι τρεις ομόκεντροι κύκλοι του σχήματος έχουν ακτίνες και . Το ορθογώνιο τρίγωνο

$\displaystyle ABC$ , έχει την κορυφή της ορθής γωνίας στον μικρότερο κύκλο , τη στον μεσαίο

και την στον μεγάλο . Υπολογίστε το μέγιστο μήκος της υποτείνουσας του τριγώνου .

: max hypotenuse.png (17.89 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

Κατασκευάζω το ορθογώνιο ABEC.

Είναι, $\displaystyle O{A^2} + O{E^2} = O{B^2} + O{C^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{OE=2\sqrt 3}$

$\displaystyle BC = AE \le OA + OE \Leftrightarrow$ $\boxed{BC\le 1+2\sqrt 3}$

Παράξενο μέγιστο 9

Παράξενο μέγιστο 9

Re: Παράξενο μέγιστο 9

Re: Παράξενο μέγιστο 9

Re: Παράξενο μέγιστο 9

Μέλη σε σύνδεση