Παράξενο μέγιστο 9

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10108
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παράξενο μέγιστο 9

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Αύγ 07, 2018 2:12 pm

Παράξενο  μέγιστο 9.png
Παράξενο μέγιστο 9.png (21.33 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές
Οι τρεις ομόκεντροι κύκλοι του σχήματος έχουν ακτίνες 1,2 και 3 . Το ορθογώνιο τρίγωνο

\displaystyle ABC , έχει την κορυφή A της ορθής γωνίας στον μικρότερο κύκλο , τη B στον μεσαίο

και την C στον μεγάλο . Υπολογίστε το μέγιστο μήκος της υποτείνουσας BC του τριγώνου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6028
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παράξενο μέγιστο 9

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Αύγ 07, 2018 7:33 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Αύγ 07, 2018 2:12 pm
Παράξενο μέγιστο 9.pngΟι τρεις ομόκεντροι κύκλοι του σχήματος έχουν ακτίνες 1,2 και 3 . Το ορθογώνιο τρίγωνο

\displaystyle ABC , έχει την κορυφή A της ορθής γωνίας στον μικρότερο κύκλο , τη B στον μεσαίο

και την C στον μεγάλο . Υπολογίστε το μέγιστο μήκος της υποτείνουσας BC του τριγώνου .
Παράξενο μέγιστο 9.png
Παράξενο μέγιστο 9.png (39.49 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές
Πιο βράδυ θα γράψω την αμιγώς γεωμετρική λύση πλήρως ( δεν είναι μεγάλης έκτασης)

\boxed{B{C_{\max }} = 2(\sqrt 3  + \dfrac{1}{2}) = 2\sqrt 3  + 1}

Ας είναι K το μέσο του OA και M το μέσο του BC.Από το α θεώρημα διαμέσων στα \vartriangle ABO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ACO έχω:

Παράξενο μέγιστο 9_λύση.png
Παράξενο μέγιστο 9_λύση.png (40.87 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  A{B^2} + 4 = 2B{K^2} + \frac{1}{2} \hfill \\ 
  A{C^2} + 9 = 2C{K^2} + \frac{1}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} + 13 = 2(B{K^2} + C{K^2}) + 1\,\,\,(1).

Αλλά πάλι από το ίδιο θεώρημα στο \vartriangle KBC έχω : B{K^2} + C{K^2} = 2M{K^2} + \dfrac{{B{C^2}}}{2}\,\,(2)

και έτσι η (1) δίδει \boxed{M{K^2} = 3} δηλαδή το M διαγράφει το κύκλο (K,\sqrt 3 ).

Αν η KO προεκταθεί πέραν του O και κόψει αυτόν τον κύκλο στο P, επειδή

\widehat {APM} \leqslant \widehat {AMP} \Leftrightarrow AM \leqslant AP = AK + KP = \sqrt 3  + \dfrac{1}{2} και αφού BC = 2AM \Rightarrow \boxed{B{C_{\max }} = 2\sqrt 3  + 1}


Altrian
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Παράξενο μέγιστο 9

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Τετ Αύγ 08, 2018 3:29 pm

Εστω c ο κύκλος με διάμετρο την BC και M το μέσο του BC. Ο κύκλος c τέμνει τον μοναδιαίο κύκλο εν γένει σε 2 σημεία. Μεγιστοποιείται δε (το μέγεθός του και άρα η ζητούμενη διάμετρός του) όταν τα σημεία αυτά ταυτίζονται (στο A). Τότε ο μοναδιαίος κύκλος και ο κύκλος c εφάπτονται εσωτερικά στο A και επομένως τα σημεία A, O, M
είναι συνευθειακά.
Από θ. διααμέσων στο \triangle OBC παίρνουμε:
OB^2 + OC^2= 2OM^2 + \frac{BC^2}{2}
Θέτουμε MB=MC=MA=x και επομένως MO=x-1.
Επομένως έχουμε:
4+9=2(x-1)^2+2x^2
4x^2-4x-11=0
που δίνει αποδεκτή λύση την x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}. Επομένως το ζητούμενο μέγιστο είναι
2x=2\sqrt{3}+1
Συνημμένα
strange_max_9.png
strange_max_9.png (41.09 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7323
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παράξενο μέγιστο 9

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Αύγ 08, 2018 5:28 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Αύγ 07, 2018 2:12 pm
Παράξενο μέγιστο 9.pngΟι τρεις ομόκεντροι κύκλοι του σχήματος έχουν ακτίνες 1,2 και 3 . Το ορθογώνιο τρίγωνο

\displaystyle ABC , έχει την κορυφή A της ορθής γωνίας στον μικρότερο κύκλο , τη B στον μεσαίο

και την C στον μεγάλο . Υπολογίστε το μέγιστο μήκος της υποτείνουσας BC του τριγώνου .
max hypotenuse.png
max hypotenuse.png (17.89 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές
Κατασκευάζω το ορθογώνιο ABEC. Είναι, \displaystyle O{A^2} + O{E^2} = O{B^2} + O{C^2} \Leftrightarrow \boxed{OE=2\sqrt 3}

\displaystyle BC = AE \le OA + OE \Leftrightarrow \boxed{BC\le 1+2\sqrt 3}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης