Όλοι παρέα σε ένα κύκλο

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8216
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Όλοι παρέα σε ένα κύκλο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 04, 2018 8:26 pm

Όλοι μαζί...κι ο ψωριάρης χώρια.png
Όλοι μαζί...κι ο ψωριάρης χώρια.png (11.71 KiB) Προβλήθηκε 358 φορές
Έστω H, I, O το ορθόκεντρο, το έγκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα τριγώνου ABC και R, r οι ακτίνες

του περίκυκλου και του έγκυκλου αντίστοιχα. Αν \widehat A=80^0, \widehat B=40^0, \widehat C=60^0, να δείξετε ότι:

α) Τα σημεία A, H, I, O,B είναι ομοκυκλικά και AH=HI=IO ..............β) \displaystyle r = \frac{R}{2}\left( {1 - 4{{\sin }^2}{{10}^0}} \right)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3953
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Όλοι παρέα σε ένα κύκλο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Μάιος 11, 2018 12:22 am

george visvikis έγραψε:
Παρ Μάιος 04, 2018 8:26 pm
Όλοι μαζί...κι ο ψωριάρης χώρια.png
Έστω H, I, O το ορθόκεντρο, το έγκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα τριγώνου ABC και R, r οι ακτίνες του περίκυκλου και του έγκυκλου αντίστοιχα. Αν \widehat A=80^0, \widehat B=40^0, \widehat C=60^0, να δείξετε ότι:
α) Τα σημεία A, H, I, O,B είναι ομοκυκλικά και AH=HI=IO ..............β) \displaystyle r = \frac{R}{2}\left( {1 - 4{{\sin }^2}{{10}^0}} \right)
Είναι \angle AHB = {180^0} - \angle B = {120^0},\angle AIB = {90^0} + \dfrac{{\angle B}}{2} = {120^0},\angle AOB = 2\left( {\angle B} \right) = {120^0} οπότε

τα σημεία A,H,I,O,B είναι ομοκυκλικά.

Επίσης \angle ABH = {90^0} - \angle A = {10^0}, \angle ABI = \frac{{\angle B}}{2} = {20^0} \Rightarrow \angle HBI = {10^0}, \angle OBC = {90^0} - \angle A = {10^0} \Rightarrow \angle IBO = {10^0}

και συνεπώς AH=HI=IO (χορδές κύκλου που αντιστοιχούν σε ίσες εγγεγαμμένες γωνίες \left( {{10}^{0}} \right)

Αν OM είναι το απόστημα που αντιστοιχεί στην BC τότε είναι γνωστό ότι AH=2OM\overset{\vartriangle OMB}{\mathop{=}}\,2R\sin {{10}^{0}}

Από τον
τύπο του Euler έχουμε: O{I^2} = {R^2} - 2Rr \Rightarrow A{H^2} = {R^2} - 2Rr \Rightarrow

{\left( {2OM} \right)^2} = {R^2} - 2Rr \Rightarrow {\left( {2R\sin {{10}^0}} \right)^2} = {R^2} - 2Rr  \Rightarrow 4{R^2}{\sin ^2}{10^0} = {R^2} - 2Rr \Rightarrow  \ldots r = \dfrac{R}{2}\left( {1 - 4{{\sin }^2}{{10}^0}} \right)

και όλα τα ζητούμενα έχουν αποδειχθεί


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης