Μινιμαλισμός

KARKAR · #1

: Μινιμαλισμός.png (11.02 KiB) Προβλήθηκε 747 φορές

Στην προέκταση της χορδής

, τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , θεωρούμε σημείο

και

φέρουμε εφαπτομένη του τόξου , η οποία τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

.

Εντοπίστε τη θέση του

για την οποία ελαχιστοποιείται : α) το

... β) το (SAP)

.

#2

Θέτουμε

,

, οπότε

με

.

Αν $C=(cos\theta, sin\theta)$ το σημείο επαφής της

με το τεταρτοκύκλιο, η εξίσωση της εφαπτομένης

δίνεται από την $y-sin\theta=-\dfrac{cos\theta}{\sin\theta}(x-cos\theta)$ , οπότε για y=0

λαμβάνουμε $P=\left(\dfrac{1}{cos\theta},0\right)$ .

Ισχύει επίσης η $1-s-sin\theta=-\dfrac{cos\theta}{\sin\theta}(s-cos\theta)$ , από την οποία λαμβάνουμε $s=\dfrac{sin\theta-1}{sin\theta-cos\theta}$ και $S=\left(\dfrac{sin\theta-1}{sin\theta-cos\theta},\dfrac{1-cos\theta}{sin\theta-cos\theta}\right)$ .

Εύκολα υπολογίζονται τώρα τα $|SP|=\dfrac{1-cos\theta}{cos\theta(sin\theta-cos\theta)}$ και $(SAP)=\dfrac{(1-cos\theta)^2}{2cos\theta(sin\theta-cos\theta)}$ .

Δεν νομίζω ότι τα ζητούμενα ελάχιστα προκύπτουν από κάποια 'χαριτωμένη' εξίσωση μηδενισμού παραγώγου, οπότε ... καταφεύγω στο WolframAlpha που μου δίνει ελάχιστο |SP|

ίσο προς περίπου 2,72609

(για $\theta\approx60,9472^0$ ) και ελάχιστο (SAP)

ίσο προς περίπου 0,64374

(για $\theta\approx55,786^0$ ). [[Η ελαχιστοποίηση ζητήθηκε για $\pi/4<\theta<\pi/2$ , στο πεδίο ορισμού του προβλήματος δηλαδή.]

Μινιμαλισμός

Μινιμαλισμός

Re: Μινιμαλισμός

Μέλη σε σύνδεση