Μέγιστο ορθογώνιο

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο ορθογώνιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 07, 2018 10:57 am

Μέγιστο  ορθογώνιο.png
Μέγιστο ορθογώνιο.png (9.62 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές
Στο τεταρτοκύκλιο του σχήματος , παίρνουμε σημείο P της AB και S

του τόξου , ώστε : \widehat{ASP}=90^0 . Βρείτε το μέγιστο του (ASP) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8046
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο ορθογώνιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Φεβ 07, 2018 12:11 pm

Ας είναι Z το αντιδιαμετρικό του A και K η προβολή του S στην OA.

Θέτω : OK = x\,\,,\,\,SK = h\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OP = y
Μέγιστο ορθογώνιο_ok.png
Μέγιστο ορθογώνιο_ok.png (24.69 KiB) Προβλήθηκε 552 φορές

Είναι : \left\{ \begin{gathered} 
  h = \sqrt {{R^2} - {x^2}}  \hfill \\ 
  y = \frac{{Rh}}{{R + x}} \hfill \\ 
  (ASP) = (OASP) - (OAP) = (OKSP) + (AKS) - (OAP) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. δηλαδή :

(ASP) = f(x) = \dfrac{1}{2}((y + h)x + (R - x)h - ry) \Rightarrow \boxed{f(x) = \frac{{Rx\sqrt {{R^2} - {x^2}} }}{{R + x}}}

Τα υπόλοιπα αναλαμβάνει ή ανάλυση και το λογισμικό .

Η f παρουσιάζει μέγιστο για \boxed{{x_0} = R\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2} = \frac{R}{\varphi }} το \boxed{f({x_0}) = \frac{1}{2}{R^2}\sqrt {\frac{{5\sqrt 5  - 11}}{2}} }
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Τετ Φεβ 07, 2018 1:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο ορθογώνιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Φεβ 07, 2018 1:03 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 07, 2018 10:57 am
Μέγιστο ορθογώνιο.pngΣτο τεταρτοκύκλιο του σχήματος , παίρνουμε σημείο P της AB και S

του τόξου , ώστε : \widehat{ASP}=90^0 . Βρείτε το μέγιστο του (ASP) .
Επιγραμματικά λόγω φακέλου.
Μέγιστο ορθογώνιο..png
Μέγιστο ορθογώνιο..png (13.16 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές
Με Πτολεμαίο: \displaystyle AS \cdot x + SP \cdot R = R\sqrt {{R^2} + {x^2}} και με Π. Θ \displaystyle S{P^2} = {R^2} + {x^2} - A{S^2}

απ' όπου παίρνω \displaystyle AS = \frac{{2Rx}}{{\sqrt {{R^2} + {x^2}} }},SP = \frac{{{R^2} - {x^2}}}{{\sqrt {{R^2} + {x^2}} }} \Rightarrow \boxed{(ASP) = \frac{{Rx({R^2} - {x^2})}}{{{R^2} + {x^2}}}}

Τώρα με τη βοήθεια παραγώγων: \boxed{{(ASP)_{\max }} = \frac{R^2}{2}(\sqrt 5  - 1)\sqrt {\sqrt 5  - 2} } για \boxed{x = R\sqrt {\sqrt 5  - 2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης