Δύσκολο , ή ...

KARKAR · #1

: Δύσκολο , ή ....png (9.67 KiB) Προβλήθηκε 759 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου

ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο

και φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα

. Έστω σημείο

του τόξου , ώστε : $BP \parallel ST$ και

η τομή του ημικυκλίου με την

. Για ποια θέση του

προκύπτει : PM=SM

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 31, 2017 2:08 pm
Δύσκολο , ή ....pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο και φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα . Έστω σημείο του τόξου , ώστε : $BP \parallel ST$ και

η τομή του ημικυκλίου με την . Για ποια θέση του προκύπτει : ;

Καλή Πρωτοχρονιά σε όλους!

: Δύσκολο;.png (18.45 KiB) Προβλήθηκε 717 φορές

Έστω

το συμμετρικό του κέντρου

του ημικυκλίου ως προς

Θα υπολογίσω το BS=x.

Από τα όμοια τρίγωνα APB, OTS

παίρνω $\displaystyle \frac{{AP}}{{2r}} = \frac{r}{{r + x}} \Leftrightarrow AP = \frac{{2{r^2}}}{{r + x}}$ και από νόμο συνημιτόνων στο OAP,

$\boxed{\cos \varphi = \frac{{{x^2} + 2rx - {r^2}}}{{{{(r + x)}^2}}}}$ (1)

Από νόμο και πάλι συνημιτόνων στο QOS

με $\displaystyle Q\widehat SO = P\widehat OA = \varphi ,$ είναι:

$\displaystyle \cos \varphi = \frac{{{x^2} + 2rx - 2{r^2}}}{{2r(r + x)}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} {x^3} + r{x^2} - 4{r^2}x = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0}$ $\boxed{x = \frac{r}{2}\left( {\sqrt {17} - 1} \right)}$

#3

Σε όλους με υγεία , ειρήνη και τύχη το 2018

Ας είναι

το κέντρο του ημικυκλίου . Επειδή $\left\{ \begin{gathered} PB//TS\,\,\kappa \alpha \iota \, \hfill \\ OT \bot TS \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow OT \bot PB$ .

Αν λοιπόν

το σημείο τομής της $PB\,\,\mu \varepsilon \,\,OT$ θα είναι το

μέσο της $PB \Rightarrow MN// = \dfrac{{BS}}{2}$ . Θέτω $BS = 2x \Rightarrow MN = x$ .

Αν η ευθεία

κόψει τις $OP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TS$ στα D,E

το τετράπλευρο NBSE

έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες άρα είναι παραλληλόγραμμο.

Έτσι $NE = BS = 2x \Rightarrow ME = x$ . Δηλαδή στο ορθογώνιο τρίγωνο TNE

η

είναι διάμεσος .

Αν τώρα η

κόβει την

στο

και η

διάμεσος στο ορθογώνιο τρίγωνο TOS

.

Τώρα θα είναι $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ που μας εξασφαλίζει ότι TK//PO

.

: Είναι δύσκολη ισως.png (37.8 KiB) Προβλήθηκε 642 φορές

Αυτό πάλι μας εγγυάται ότι και το τετράπλευρο DOKM

είναι παραλληλόγραμμο .

Προφανώς το

είναι μέσο του

.

Αν θέσω την ακτίνα του ημικυκλίου $R = 2u \Rightarrow OD = DM = MK = u$ . Επειδή

$DM = OK \Rightarrow x + u = 2u + BK \Rightarrow \boxed{BK = x - u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AK = x + 3u}\,\,(1)$ .

Από τη δύναμη του

ως προς το ημικύκλιο έχω : $KB \cdot KA = KM \cdot KT$ ή λόγω της (1)

:

$(x - u)(x + 3u) = u(u + x) \Rightarrow \boxed{2x = u(\sqrt {17} - 1) \Leftrightarrow BS = \frac{R}{2}(\sqrt {17} - 1)}$ .

Δύσκολο , ή ...

Δύσκολο , ή ...

Re: Δύσκολο , ή ...

Re: Δύσκολο , ή ...

Μέλη σε σύνδεση