Δύσκολο , ή ...

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9809
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δύσκολο , ή ...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 31, 2017 2:08 pm

Δύσκολο ,  ή  ....png
Δύσκολο , ή ....png (9.67 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές
Στην προέκταση της διαμέτρου AB ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο S και φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα ST . Έστω σημείο P του τόξου , ώστε : BP \parallel ST και M

η τομή του ημικυκλίου με την SP . Για ποια θέση του S προκύπτει : PM=SM ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6958
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δύσκολο , ή ...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 31, 2017 7:02 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 31, 2017 2:08 pm
Δύσκολο , ή ....pngΣτην προέκταση της διαμέτρου AB ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο S και φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα ST . Έστω σημείο P του τόξου , ώστε : BP \parallel ST και M

η τομή του ημικυκλίου με την SP . Για ποια θέση του S προκύπτει : PM=SM ;
Καλή Πρωτοχρονιά σε όλους!
Δύσκολο;.png
Δύσκολο;.png (18.45 KiB) Προβλήθηκε 381 φορές
Έστω Q το συμμετρικό του κέντρου O του ημικυκλίου ως προς M. Θα υπολογίσω το BS=x.

Από τα όμοια τρίγωνα APB, OTS παίρνω \displaystyle \frac{{AP}}{{2r}} = \frac{r}{{r + x}} \Leftrightarrow AP = \frac{{2{r^2}}}{{r + x}} και από νόμο συνημιτόνων στο OAP,

\boxed{\cos \varphi  = \frac{{{x^2} + 2rx - {r^2}}}{{{{(r + x)}^2}}}} (1) Από νόμο και πάλι συνημιτόνων στο QOS με \displaystyle Q\widehat SO = P\widehat OA = \varphi , είναι:

\displaystyle \cos \varphi  = \frac{{{x^2} + 2rx - 2{r^2}}}{{2r(r + x)}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} {x^3} + r{x^2} - 4{r^2}x = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x > 0} \boxed{x = \frac{r}{2}\left( {\sqrt {17}  - 1} \right)}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5864
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δύσκολο , ή ...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιαν 01, 2018 9:10 pm

Σε όλους με υγεία , ειρήνη και τύχη το 2018

Ας είναι O το κέντρο του ημικυκλίου . Επειδή \left\{ \begin{gathered} 
  PB//TS\,\,\kappa \alpha \iota \, \hfill \\ 
  OT \bot TS \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow OT \bot PB.

Αν λοιπόν N το σημείο τομής της PB\,\,\mu \varepsilon \,\,OT θα είναι το N μέσο της PB \Rightarrow MN// = \dfrac{{BS}}{2} . Θέτω BS = 2x \Rightarrow MN = x .

Αν η ευθεία MN κόψει τις OP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TS στα D,E το τετράπλευρο NBSE έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες άρα είναι παραλληλόγραμμο.

Έτσι NE = BS = 2x \Rightarrow ME = x. Δηλαδή στο ορθογώνιο τρίγωνο TNE η TM είναι διάμεσος .

Αν τώρα η TM κόβει την OS στο K και η TK διάμεσος στο ορθογώνιο τρίγωνο TOS.

Τώρα θα είναι \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} που μας εξασφαλίζει ότι TK//PO.
Είναι δύσκολη ισως.png
Είναι δύσκολη ισως.png (37.8 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές
Αυτό πάλι μας εγγυάται ότι και το τετράπλευρο DOKM είναι παραλληλόγραμμο .

Προφανώς το D είναι μέσο του OP .

Αν θέσω την ακτίνα του ημικυκλίου R = 2u \Rightarrow OD = DM = MK = u. Επειδή

DM = OK \Rightarrow x + u = 2u + BK \Rightarrow \boxed{BK = x - u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AK = x + 3u}\,\,(1).

Από τη δύναμη του K ως προς το ημικύκλιο έχω : KB \cdot KA = KM \cdot KT ή λόγω της (1):

(x - u)(x + 3u) = u(u + x) \Rightarrow \boxed{2x = u(\sqrt {17}  - 1) \Leftrightarrow BS = \frac{R}{2}(\sqrt {17}  - 1)}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης