Μια γεωμετρική ανισότητα!

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6058
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Μια γεωμετρική ανισότητα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Δεκ 06, 2017 1:26 am

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} και ευθεία \displaystyle{(\ell )}. Οι αποστάσεις των κορυφών \displaystyle{A,B,\Gamma} από την ευθεία \displaystyle{(\ell)} είναι \displaystyle{x,y,z,} αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι

\displaystyle{x^2 \tan A+y^2 \tan B+z^2 \tan \Gamma \geq 2E,}

όπου \displaystyle{E} το εμβαδόν του τριγώνου.

Πότε ισχύει η ισότητα;
Συνημμένα
geometric inequality.png
geometric inequality.png (31.83 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1374
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Μια γεωμετρική ανισότητα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τετ Δεκ 13, 2017 2:54 pm

Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων \displaystyle OXY, ώστε η ευθεία \displaystyle BC να ταυτίζεται με τον άξονα των \displaystyle X και η κάθετη ευθεία από το \displaystyle A προς την \displaystyle BC να ταυτίζεται με τον άξονα των \displaystyle Y. Τότε, έχουμε ότι \displaystyle A\left( {0,a} \right), \displaystyle B\left( { - b,0} \right) και \displaystyle C\left( {c,0} \right), όπου \displaystyle a,b,c > 0. Άρα, θα είναι:

\displaystyle E = \frac{{a\left( {b + c} \right)}}{2},

\displaystyle \tan B = \frac{a}{b},

\displaystyle \tan C = \frac{a}{c}

και

\displaystyle \tan A =  - \tan \left( {B + C} \right) =  - \frac{{\tan B + \tan C}}{{1 - \tan B\tan C}} = -\frac{{\dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c}}}{{1 - \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{c}}} = \frac{{a\left( {b + c} \right)}}{{{a^2} - bc}} > 0,

άρα και \displaystyle {a^2} - bc > 0.

Έστω ότι η ευθεία \displaystyle \ell έχει εξίσωση \displaystyle rX + sY + t = 0, όπου \displaystyle r,s,t \in \mathbb{R} με \displaystyle {r^2} + {s^2} > 0. Τότε, θα είναι:

\displaystyle x = \frac{{\left| {sa + t} \right|}}{{\sqrt {{r^2} + {s^2}} }},

\displaystyle y = \frac{{\left| { - rb + t} \right|}}{{\sqrt {{r^2} + {s^2}} }}

και

\displaystyle z = \frac{{\left| {rc + t} \right|}}{{\sqrt {{r^2} + {s^2}} }}.

Έτσι, έχουμε ότι:

\displaystyle {x^2}\tan A + {y^2}\tan B + {z^2}\tan C = \frac{1}{{{r^2} + {s^2}}}\left[ {{{\left( {sa + t} \right)}^2}\frac{{a\left( {b + c} \right)}}{{{a^2} - bc}} + {{\left( { - rb + t} \right)}^2}\frac{a}{b} + {{\left( {rc + t} \right)}^2}\frac{a}{c}} \right] =

\displaystyle  = \frac{a}{{{r^2} + {s^2}}}\left[ {{{\left( {sa + t} \right)}^2}\frac{{b + c}}{{{a^2} - bc}} + \frac{1}{{bc}}\left( {c{{\left( { - rb + t} \right)}^2} + b{{\left( {rc + t} \right)}^2}} \right)} \right] =

\displaystyle  = \frac{a}{{{r^2} + {s^2}}}\left[ {{{\left( {sa + t} \right)}^2}\frac{{b + c}}{{{a^2} - bc}} + \frac{1}{{bc}}\left( {{r^2}{b^2}c - 2rtbc + c{t^2} + {r^2}b{c^2} + 2rtbc + b{t^2}} \right)} \right] =

\displaystyle  = \frac{a}{{{r^2} + {s^2}}}\left[ {{{\left( {sa + t} \right)}^2}\frac{{b + c}}{{{a^2} - bc}} + \frac{{b + c}}{{bc}}\left( {{r^2}bc + {t^2}} \right)} \right] =

\displaystyle  = \frac{{a\left( {b + c} \right)}}{{{r^2} + {s^2}}}\left[ {\frac{{{{\left( {sa + t} \right)}^2}}}{{{a^2} - bc}} + \frac{{{r^2}bc + {t^2}}}{{bc}}} \right] =

\displaystyle  = 2E \cdot \frac{{bc{{\left( {sa + t} \right)}^2} + \left( {{a^2} - bc} \right)\left( {{r^2}bc + {t^2}} \right)}}{{bc\left( {{a^2} - bc} \right)\left( {{r^2} + {s^2}} \right)}}.

Επομένως, αρκεί να δείξουμε ότι:

\displaystyle \frac{{bc{{\left( {sa + t} \right)}^2} + \left( {{a^2} - bc} \right)\left( {{r^2}bc + {t^2}} \right)}}{{bc\left( {{a^2} - bc} \right)\left( {{r^2} + {s^2}} \right)}} \ge 1 \iff

\displaystyle \iff {s^2}{a^2}bc + 2abcst + {t^2}bc + {r^2}{a^2}bc + {a^2}{t^2} - {r^2}{b^2}{c^2} - {t^2}bc \ge {r^2}{a^2}bc - {r^2}{b^2}{c^2} + {s^2}{a^2}bc - {s^2}{b^2}{c^2} \iff

\displaystyle \iff {s^2}{b^2}{c^2} + 2abcst + {a^2}{t^2} \ge 0 \iff {\left( {sbc + at} \right)^2} \ge 0,

που ισχύει, άρα η αποδεικτέα ανισότητα έπεται.

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν \displaystyle sbc + at = 0 \iff s\frac{{bc}}{a} + t = 0, δηλαδή αν και μόνο αν το σημείο \displaystyle H\left( {0,\frac{{bc}}{a}} \right) ανήκει στην ευθεία \displaystyle \ell . Αλλά είναι

\displaystyle \overrightarrow {BH}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \left( {b,\frac{{bc}}{a}} \right) \cdot \left( {c, - a} \right)=bc - bc = 0,

οπότε \displaystyle BH \bot AC και άρα το σημείο \displaystyle H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου \displaystyle ABC. Συνεπώς, η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν η ευθεία \displaystyle \ell διέρχεται από το ορθόκεντρο \displaystyle H του τριγώνου \displaystyle ABC.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης