
- Ορθόκεντρο 1.png (20.35 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές
Έστω

σημείο στην

, έτσι ώστε

. Έστω

τα σημεία που οι

και

τέμνουν τα

and

.
Αν το

βρίσκεται έξω από το αρχικό τρίγωνο τότε έχουμε

και

. Θα αποδείξουμε ότι

.
Εφαρμόζοντας το νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα

και

, παίρνουμε:
Θέλουμε να αποδείξουμε ότι

που ισχύει.
Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι αν το σημείο

βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου τότε

.
Συνοψίζοντας, έχουμε ότι

αν και μόνο αν

(1).
Έστω

, ώστε

.
Έστω

είναι συμμετρικό σημείο του

ως προς την

. Ισχύει ότι

.
Επομένως το

ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του

, άρα το

είναι το ορθόκεντρο του

.
Συνεπώς

και

.
Αφού

, προκύπτει ότι

και
Έτσι τα τρίγωνα

και

είναι όμοια με λόγο ομοιότητας

. Άρα:

, το οποίο έρχεται σε αντίθεση με το (1).
Συνεπώς

και

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου

.