Ο Χρυσός αριθμός Φ σε εγγράψιμο

Συντονιστής: gbaloglou

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 800
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Ο Χρυσός αριθμός Φ σε εγγράψιμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Νοέμ 12, 2017 2:22 pm

Χαιρετώ όλους !
12-11-17 Ο χρυσός Φ και τριγωνομετρικοί αριθμοί.PNG
12-11-17 Ο χρυσός Φ και τριγωνομετρικοί αριθμοί.PNG (5.27 KiB) Προβλήθηκε 520 φορές
Στο εγγράψιμο ABCD είναι B\widehat{C}D=2D\widehat{A}C=6B\widehat{A}C.

Αν δοθούν AC=4 και \left ( BCD \right )=\sqrt{\Phi +2} όπου \Phi =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}

1) Να εξεταστεί αν ισχύει  \left ( ABCD \right )=2\Phi \left ( BCD \right )

Αν H η τομή των διαγωνίων AC,BD

και τα E_{AH},E_{CH} εκφράζουν τα εμβαδά των ημικυκλίων με διαμέτρους AH,CH αντίστοιχα τότε :

2) Να εξεταστεί η.. ακεραιότητα του λόγου \dfrac{E_{AH}}{E_{CH}}.

Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6725
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ο Χρυσός αριθμός Φ σε εγγράψιμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 14, 2017 12:09 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Νοέμ 12, 2017 2:22 pm
Χαιρετώ όλους !
12-11-17 Ο χρυσός Φ και τριγωνομετρικοί αριθμοί.PNG
Στο εγγράψιμο ABCD είναι B\widehat{C}D=2D\widehat{A}C=6B\widehat{A}C.

Αν δοθούν AC=4 και \left ( BCD \right )=\sqrt{\Phi +2} όπου \Phi =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}

1) Να εξεταστεί αν ισχύει  \left ( ABCD \right )=2\Phi \left ( BCD \right )

Αν H η τομή των διαγωνίων AC,BD

και τα E_{AH},E_{CH} εκφράζουν τα εμβαδά των ημικυκλίων με διαμέτρους AH,CH αντίστοιχα τότε :

2) Να εξεταστεί η.. ακεραιότητα του λόγου \dfrac{E_{AH}}{E_{CH}}.

Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα!

Από την υπόθεση εύκολα βρίσκουμε B\widehat CD=108^0, B\widehat AC=B\widehat DC=18^0, C\widehat AD=C\widehat BD=54^0
Ο Χρυσός αριθμός Φ.png
Ο Χρυσός αριθμός Φ.png (18.95 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές
1) \displaystyle (BCD) = \sqrt {\Phi  + 2}  \Leftrightarrow \frac{{BC \cdot CD}}{2}\sin {108^0} = \frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}{2} \Leftrightarrow \boxed{BC\cdot CD=4} (1)

Νόμος ημιτόνων στο BCD: \displaystyle \frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{\sin {{18}^0}}}{{\sin {{54}^0}}} = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{{\sqrt 5  + 1}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} BC = \sqrt 5  - 1,CD = \sqrt 5  + 1

και με νόμο ημιτόνων στο ABC προκύπτει ότι οι γωνίες \widehat B, \widehat D του τετραπλεύρου είναι ορθές.

Με Πυθαγόρειο Θεώρημα τώρα βρίσκω, \displaystyle AB =BD= \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } , AD = \sqrt {10 - 2\sqrt 5 }

\displaystyle (ABCD) = \frac{{AC \cdot BDsin{{54}^0}}}{2} = 2\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } \frac{{\sqrt 5  + 1}}{4} = 2\Phi \sqrt {\Phi  + 2}  = 2\Phi (BCD)

2) Με νόμο συνημιτόνων στο AHD βρίσκω, AH=5-\sqrt 5 κι επειδή AC=4, θα είναι HC=\sqrt 5-1

\boxed{\frac{{{E_{AH}}}}{{{E_{CH}}}} = {\left( {\frac{{AH}}{{CH}}} \right)^2} = 5}


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 800
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ο Χρυσός αριθμός Φ σε εγγράψιμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Δεκ 03, 2017 12:15 am

Καλό βράδυ . Να ευχαριστήσω (με ..καθυστέρηση) τον Γιώργο για την τακτοποίηση και του παρόντος !
Υποβάλλω στη συνέχεια και προσωπική προσέγγιση
Το ABCD είναι εγγράψιμο και εύκολα βρίσκουμε -όπως έγραψε κι' ο Γιώργος -
B\widehat CD=108^0, B\widehat AC=B\widehat DC=18^0, C\widehat AD=C\widehat BD=54^0

Το τρίγωνο BCD είναι του τύπου \left ( 18^{0} ,54^{0},72^{0}\right ) οπότε \left ( BCD \right )=2R ^{2} \cdot\eta \mu 18^{0}\cdot \eta \mu 54^{0}\cdot \eta \mu 72^{0} . Θεωρώντας γνωστά ότι

\eta \mu 18^{0}=\dfrac{1}{2\Phi }..\eta \mu 54^{0}=\dfrac{\Phi }{2}..\eta \mu 72^{0}=\dfrac{\sqrt{\Phi +2}}{2} προκύπτει (BCD)=..=\dfrac{R^2{\sqrt{\Phi +2}}}{4} άρα λόγω και του δεδομένου παίρνουμε

R^{2}=4\Rightarrow R=2 ενώ AC=4=2R συνεπώς οι γωνίες \widehat B, \widehat D του τετραπλεύρου είναι ορθές.Έχουμε λοιπόν το σχήμα :
2-12-17 ..Φ.PNG
2-12-17 ..Φ.PNG (11.29 KiB) Προβλήθηκε 350 φορές
Βρίσκουμε BD=2R\eta \mu A=4\cdot \eta \mu 72^{0}=2\sqrt{\Phi +2} και A\widehat{H}D=36^{0}+18^{0}=54^{0}

οπότε \left ( ABCD \right )=\dfrac{1}{2}AC\cdot BD\cdot \eta \mu 54^{0}=2\Phi \sqrt{\Phi +2}=2\Phi \left ( BCD \right )

Ακόμη έχουμε \dfrac{{{E_{AH}}}}{{{E_{CH}}}} = {\left( {\dfrac{{AH}}{{CH}}} \right)^2} ενώ ισχύει \dfrac{AH}{CH}=\dfrac{\left ( ABH \right )}{\left ( BCH \right )} =\dfrac{\eta \mu 36^{0}BH\cdot AB/2}{\eta \mu 54^{0}BH\cdot BC/2}=\dfrac{AB}{BC}\cdot \dfrac{\eta \mu 36^{0}}{\eta \mu 54^{0}}

και στο ορθ. ABC είναι \dfrac{AB}{BC}=\sigma \varphi 18^{0} . Τελικά προκύπτει \boxed{\frac{E_{AH}}{E_{CH}}=..=\left ( \dfrac{\Phi +2}{\Phi } \right )^{2}=5}

Φιλικά Γιώργος .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης