Τριχοτόμηση και μέσο

KARKAR · #1

: Τριχοτόμηση και μέσο.png (16.79 KiB) Προβλήθηκε 728 φορές

Στην προέκταση της βάσης

του ισοσκελούς τριγώνου ABS ,
(AB=AS)

,

παίρνουμε σημείο

, τέτοιο ώστε : $\widehat{SAC}=\dfrac{\hat{A}}{2}$ . Μπορούμε άραγε να επιλέξουμε

το αρχικό τρίγωνο έτσι , ώστε ο περίκυκλός του να διέρχεται από το μέσο της

;

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Για ευκολία για το latex θέτω $x=\phi$

Από δύναμη σημείου έχουμε πως πρέπει:

$\dfrac{CA^2}{2}=CS\cdot CB=CS\cdot (CS+SB)=$

$=CS^2+CS\cdot SB=CS^2+2CS\cdot SA\cdot sin(x)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow CA^2=2CS^2+4CS\cdot SA\cdot sinx$ (1).

Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ASC

, παίρνουμε ότι:

$CA^2=CS^2+SA^2-2\cdot CS\cdot SA\cdot cos(90^o+x)=$

$=CS^2+SA^2+2\cdot CS\cdot SA\cdot sinx$ (2).

Από τις (1) και (2) έχουμε όμως πως $CS^2+2CS\cdot SA\cdot sinx=SA^2$ (3)

Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ASC

έχουμε πως:

$\dfrac{SA}{CS}=\dfrac{sin(90-2x)}{sinx}=\dfrac{cos2x}{sinx}$ $\Leftrightarrow SA=CS\cdot\dfrac{cos2x}{sinx}$ .

Αντικαθιστώντας στην (3) την παραπάνω σχέση έχουμε πως:

$CS^2+2CS^2\cdot \cos2x=CS^2(\dfrac{cos2x}{sinx})^2\Leftrightarrow$ $1+2cos2x=(\dfrac{cos2x}{sinx})^2\Leftrightarrow...\Leftrightarrow$ 8sin^4x-7sin^2x+1=0

(αν δεν έχω κάνει λάθος)

Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ότι $sinx=\dfrac{\sqrt{7-\sqrt{17}}}{4}$ ή $sinx=\dfrac{\sqrt{7+\sqrt{17}}}{4}$ , αφού πρέπει το sinx

να είναι θετικό. Παρόλα αυτά μόνο η τιμή $sinx=\dfrac{\sqrt{7-\sqrt{17}}}{4}$ είναι σωστή... :?

Υ.Γ Αντιμετωπίζω πολλά προβλήματα αυτή τη στιγμή με το latex και για αυτό το λόγο η δομή του κειμένου είναι όπως παραπάνω.

#3

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 16, 2017 4:15 pm
...Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ότι $sinx=\dfrac{\sqrt{7-\sqrt{17}}}{4}$ ή $sinx=\dfrac{\sqrt{7+\sqrt{17}}}{4}$ , αφού πρέπει το να είναι θετικό. Παρόλα αυτά μόνο η τιμή $sinx=\dfrac{\sqrt{7-\sqrt{17}}}{4}$ είναι σωστή...

Αν φέρουμε το ύψος AD,

παρατηρούμε ότι $D\widehat AC=2\varphi<90^0.$ Άρα, $\displaystyle {0^0} < \varphi < {45^0} \Leftrightarrow \sin \varphi < \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ ...

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 16, 2017 5:06 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 16, 2017 4:15 pm
...Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ότι $sinx=\dfrac{\sqrt{7-\sqrt{17}}}{4}$ ή $sinx=\dfrac{\sqrt{7+\sqrt{17}}}{4}$ , αφού πρέπει το να είναι θετικό. Παρόλα αυτά μόνο η τιμή $sinx=\dfrac{\sqrt{7-\sqrt{17}}}{4}$ είναι σωστή...
Αν φέρουμε το ύψος παρατηρούμε ότι $D\widehat AC=2\varphi<90^0.$ Άρα, $\displaystyle {0^0} < \varphi < {45^0} \Leftrightarrow \sin \varphi < \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ ...

Σας ευχαριστώ πολύ κύριε Γιώργο για τη συμπλήρωση!

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 16, 2017 2:06 pm
Τριχοτόμηση και μέσο.png Στην προέκταση της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου ,

παίρνουμε σημείο , τέτοιο ώστε : $\widehat{SAC}=\dfrac{\hat{A}}{2}$ . Μπορούμε άραγε να επιλέξουμε

το αρχικό τρίγωνο έτσι , ώστε ο περίκυκλός του να διέρχεται από το μέσο της ;

Καλησπέρα σε όλους!

: Τριχοτόμηση και μέσο.png (18.17 KiB) Προβλήθηκε 677 φορές

Το ύψος

τέμνει τον περίκυκλο στο

και έχουμε:

$\displaystyle AD = AC\cos 2\varphi = 2AM\cos 2\varphi \Leftrightarrow$ $\boxed{AD = 4R{\cos ^2}2\varphi}$ , $\boxed{b = 2R\cos \varphi}$ , $\boxed{{b^2} = 2R \cdot AD}$ Από αυτές τις

σχέσεις καταλήγω στην εξίσωση $\displaystyle {\cos ^2}\varphi = 2{\cos ^2}2\varphi \Leftrightarrow 4{\cos ^2}2\varphi - \cos 2\varphi - 1 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{\cos 2\varphi =\frac{{1 + \sqrt {17} }}{8}}$

Τριχοτόμηση και μέσο

Τριχοτόμηση και μέσο

Re: Τριχοτόμηση και μέσο

Re: Τριχοτόμηση και μέσο

Re: Τριχοτόμηση και μέσο

Re: Τριχοτόμηση και μέσο

Μέλη σε σύνδεση