Τριχοτόμηση και μέσο

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τριχοτόμηση και μέσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Σεπ 16, 2017 2:06 pm

Τριχοτόμηση  και  μέσο.png
Τριχοτόμηση και μέσο.png (16.79 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές
Στην προέκταση της βάσης BS του ισοσκελούς τριγώνου ABS ,
 (AB=AS) ,

παίρνουμε σημείο C , τέτοιο ώστε : \widehat{SAC}=\dfrac{\hat{A}}{2} . Μπορούμε άραγε να επιλέξουμε

το αρχικό τρίγωνο έτσι , ώστε ο περίκυκλός του να διέρχεται από το μέσο της AC ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Τριχοτόμηση και μέσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Σεπ 16, 2017 4:15 pm

Για ευκολία για το latex θέτω x=\phi

Από δύναμη σημείου έχουμε πως πρέπει:

\dfrac{CA^2}{2}=CS\cdot CB=CS\cdot (CS+SB)=

=CS^2+CS\cdot SB=CS^2+2CS\cdot SA\cdot sin(x)\Leftrightarrow

\Leftrightarrow CA^2=2CS^2+4CS\cdot SA\cdot sinx (1).

Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ASC, παίρνουμε ότι:

CA^2=CS^2+SA^2-2\cdot CS\cdot SA\cdot cos(90^o+x)=

=CS^2+SA^2+2\cdot CS\cdot SA\cdot sinx (2).

Από τις (1) και (2) έχουμε όμως πως CS^2+2CS\cdot SA\cdot sinx=SA^2 (3)

Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ASC έχουμε πως:

\dfrac{SA}{CS}=\dfrac{sin(90-2x)}{sinx}=\dfrac{cos2x}{sinx}\Leftrightarrow SA=CS\cdot\dfrac{cos2x}{sinx}.

Αντικαθιστώντας στην (3) την παραπάνω σχέση έχουμε πως:

CS^2+2CS^2\cdot \cos2x=CS^2(\dfrac{cos2x}{sinx})^2\Leftrightarrow 1+2cos2x=(\dfrac{cos2x}{sinx})^2\Leftrightarrow...\Leftrightarrow 8sin^4x-7sin^2x+1=0 (αν δεν έχω κάνει λάθος)

Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ότι sinx=\dfrac{\sqrt{7-\sqrt{17}}}{4} ή sinx=\dfrac{\sqrt{7+\sqrt{17}}}{4}, αφού πρέπει το sinx να είναι θετικό. Παρόλα αυτά μόνο η τιμή sinx=\dfrac{\sqrt{7-\sqrt{17}}}{4} είναι σωστή... :?

Υ.Γ Αντιμετωπίζω πολλά προβλήματα αυτή τη στιγμή με το latex και για αυτό το λόγο η δομή του κειμένου είναι όπως παραπάνω.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9454
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τριχοτόμηση και μέσο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 16, 2017 5:06 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Σάβ Σεπ 16, 2017 4:15 pm
...Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ότι sinx=\dfrac{\sqrt{7-\sqrt{17}}}{4} ή sinx=\dfrac{\sqrt{7+\sqrt{17}}}{4}, αφού πρέπει το sinx να είναι θετικό. Παρόλα αυτά μόνο η τιμή sinx=\dfrac{\sqrt{7-\sqrt{17}}}{4} είναι σωστή... :?
Αν φέρουμε το ύψος AD, παρατηρούμε ότι D\widehat AC=2\varphi<90^0. Άρα, \displaystyle {0^0} < \varphi  < {45^0} \Leftrightarrow \sin \varphi  < \frac{{\sqrt 2 }}{2}...


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Τριχοτόμηση και μέσο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Σεπ 16, 2017 5:43 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Σεπ 16, 2017 5:06 pm
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Σάβ Σεπ 16, 2017 4:15 pm
...Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ότι sinx=\dfrac{\sqrt{7-\sqrt{17}}}{4} ή sinx=\dfrac{\sqrt{7+\sqrt{17}}}{4}, αφού πρέπει το sinx να είναι θετικό. Παρόλα αυτά μόνο η τιμή sinx=\dfrac{\sqrt{7-\sqrt{17}}}{4} είναι σωστή... :?
Αν φέρουμε το ύψος AD, παρατηρούμε ότι D\widehat AC=2\varphi<90^0. Άρα, \displaystyle {0^0} < \varphi  < {45^0} \Leftrightarrow \sin \varphi  < \frac{{\sqrt 2 }}{2}...

Σας ευχαριστώ πολύ κύριε Γιώργο για τη συμπλήρωση!


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9454
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τριχοτόμηση και μέσο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 16, 2017 6:05 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Σεπ 16, 2017 2:06 pm
Τριχοτόμηση και μέσο.png Στην προέκταση της βάσης BS του ισοσκελούς τριγώνου ABS , 
 (AB=AS) ,

παίρνουμε σημείο C , τέτοιο ώστε : \widehat{SAC}=\dfrac{\hat{A}}{2} . Μπορούμε άραγε να επιλέξουμε

το αρχικό τρίγωνο έτσι , ώστε ο περίκυκλός του να διέρχεται από το μέσο της AC ;
Καλησπέρα σε όλους!
Τριχοτόμηση και μέσο.png
Τριχοτόμηση και μέσο.png (18.17 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές
Το ύψος AD τέμνει τον περίκυκλο στο E και έχουμε:

\displaystyle AD = AC\cos 2\varphi  = 2AM\cos 2\varphi  \Leftrightarrow \boxed{AD = 4R{\cos ^2}2\varphi}, \boxed{b = 2R\cos \varphi}, \boxed{{b^2} = 2R \cdot AD} Από αυτές τις

σχέσεις καταλήγω στην εξίσωση \displaystyle {\cos ^2}\varphi  = 2{\cos ^2}2\varphi  \Leftrightarrow 4{\cos ^2}2\varphi  - \cos 2\varphi  - 1 = 0 \Leftrightarrow \boxed{\cos 2\varphi  =\frac{{1 + \sqrt {17} }}{8}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης