Λίγη Τριγωνομετρία

#1

Με αφορμή το ποστ του Φάνη εδώ δείξτε ότι

$\displaystyle{ \tan (82,5^o) = 2 + \sqrt 2 +\sqrt 3 + \sqrt 6$

Ας δώσουμε περιθώριο μια δυο μέρες στους μαθητές μας.

Ορέστης Λιγνός · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε:Με αφορμή το ποστ του Φάνη εδώ δείξτε ότι

$\displaystyle{ \tan (82,5^o) = 2 + \sqrt 2 +\sqrt 3 + \sqrt 6$

Ας δώσουμε περιθώριο μια δυο μέρες στους μαθητές μας.

Καλησπέρα κύριε Μιχάλη!

Είναι $\dfrac{1}{2}=\sin 30^0=2\sin15^0 \cos 15^0$ , άρα $\sin15^0 \cos 15^0=\dfrac{1}{4}$ (1).

Όμως, $\sin^2 15^0 +\cos^2 15^0=1$ (2).

Λύνοντας το σύστημα των (1), (2) παίρνουμε $\sin 15^0=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} , \, \cos15^0=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ .

Άρα, $\tan15^0=\dfrac{\sin15^0}{\cos15^0}= \ldots = 2-\sqrt{3}$ .

Έτσι, $\tan 165^0=\tan (180^0-15)=-\tan15^0=\sqrt{3}-2$ .

Από τον γνωστό τύπο $\tan 2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2 a}$ , έχουμε για a=82.5

:

$\tan165^0=\sqrt{3}-2=\dfrac{2N}{1-N^2}$ (*) , όπου $N=\tan a=\tan (82.5)$ .

Λύνοντας την (*) παίρνουμε $N=\dfrac{\sqrt{8-4\sqrt{3}}+1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}$ (η άλλη ρίζα απορρίπτεται διότι είναι αρνητική).

Άρα, $\tan (82.5)=N=2+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}$ , το ζητούμενο.

Tolaso J Kos · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε:Με αφορμή το ποστ του Φάνη εδώ δείξτε ότι

$\displaystyle{ \tan (82,5^o) = 2 + \sqrt 2 +\sqrt 3 + \sqrt 6$

Μιας και απαντήθηκε ας δώσουμε ακόμα μία απάντηση για τη καλησπέρα μου στο κ. Μιχάλη.

Ξεκινάμε με το τύπο
$\displaystyle{\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1+\cos x}}$ Για x=15

έχουμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \tan \left ( \frac{15}{2} \right ) &=\frac{\sin 15}{1+ \cos 15} \\ &= \frac{\sin \left ( 45-30 \right )}{1+ \cos \left ( 45-30 \right )}\\ &= \frac{\sin 45 \cos 30 - \sin 30 \cos 45}{1 + \cos 45 \cos 30 + \sin 45 \sin 30}\\ &= \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2} + \sqrt{3}+ 1} \end{aligned}}$ Τότε όμως:
$\displaystyle{\begin{aligned} \tan \left ( 82.5 \right )&= \tan \left ( 90- 7.5 \right ) \\ &= \cot \left ( 7.5 \right ) \\ &= \frac{1}{\tan \left ( 7.5 \right )} \\ &= \frac{1}{\tan \left ( \frac{15}{2} \right )} \\ &= 2 + \sqrt {2} +\sqrt {3} + \sqrt {6} \end{aligned}}$ αυτό δηλαδή που περιμέναμε να βγάλουμε.

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: δείξτε ότι

$\displaystyle{ \tan (82,5^o) = 2 + \sqrt 2 +\sqrt 3 + \sqrt 6$

Αυτό που είχα κατά νου είναι: α) από $\displaystyle{ 1=\tan 45 = \frac {2 \tan \frac {45} {2} } { 1 - \tan ^2 \frac {45} {2} } }$ και λύνοντας μία δευτεροβάθμια προκύπτει $\displaystyle{ \tan \frac {45} {2} = \sqrt 2 - 1 }$

Κατόπιν β) αναπτύσουμε το

$\displaystyle{ \tan (82,5^o) = \tan \left ( 60 + \frac {45} {2} \right )= \frac {\sqrt 3 +(\sqrt 2 - 1) }{1- \sqrt 3(\sqrt 2 - 1)}$

που με ρητοποίηση του παρονομαστή δίνει το ζητούμενο.

Λίγη Τριγωνομετρία

Λίγη Τριγωνομετρία

Re: Λίγη Τριγωνομετρία

Re: Λίγη Τριγωνομετρία

Re: Λίγη Τριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση