ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

ΑΩΚΝΟΣ

Καλό μήνα και καλή Σαρακοστή σε όλους.

: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ.png (30.56 KiB) Προβλήθηκε 1481 φορές

Σε ισοσκελές τρίγωνο $\ AB\Gamma$ με γωνία $A\leqslant 60°$ ,
γράφουμε κύκλους ( $\ A, AB$ )και ( $\Gamma, \Gamma B$ ).
Η περιφέρεια του κύκλου ( $\Gamma, \Gamma B$ ) τέμνει στο $\Delta$ την πλευρά $\ AB$ και την πλευρά $\ A \Gamma$ στα $\ E$ και $\ Z$ .
Φέρουμε ημιευθεία $\Gamma \Delta$ , που τέμνει τον κύκλο ( $\ A, AB$ ) στο $\Theta$ .
Φέρουμε την προέκταση της $\Gamma A$ προς το $\ A$ , που τέμνει τον κύκλο ( $\ A, AB$ ) στο

.
Ζητείται η κατασκευή, με κανόνα και διαβήτη, των τριχοτόμων των γωνιών :
α) $\widehat{Z \Gamma \Delta}$
β) $\widehat{\Delta \Gamma E}$
γ) $\widehat{\Theta AH}$

Στην παραπάνω κατασκευή, αν η $\widehat{\Delta \Gamma E}=30°$ ,
υπολογίστε το μέτρο που θα έχουν οι γωνίες $\widehat{\Gamma AB}$ και $\widehat{BA \Theta}$ .

* Παρακαλώ τους διαχειριστές να μεταφέρουν την ανάρτηση στο σωστό φάκελο, εφόσον αυτή δεν είναι. *

ΑΩΚΝΟΣ έγραψε: Ζητείται η κατασκευή, με κανόνα και διαβήτη, των τριχοτόμων των γωνιών :
α) $\widehat{Z \Gamma \Delta}$
β) $\widehat{\Delta \Gamma E}$
γ) $\widehat{\Theta AH}$

Ή είμαι κουρασμένος μετά από πολλή κοποιαστική μέρα ή δεν βλέπω κάτι:

Αν πάρουμε A=40^o

και $B=\Gamma = 70^o$ , τότε $\Delta \Gamma E = 30^o$ και $\Theta AH=60^o$ και $Z \Gamma \Delta$ . Να όμως που δεν τριχοτομείται με κανόνα και διαβήτη ούτε η μία ούτε η άλλη ούτε η παρά άλλη. Και οι τρεις οδηγούν σε κατασκευή γωνίας 10^o

που δεν είναι εφικτή με Ευκλείδεια μέσα.

Χάνω κάτι;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

Mihalis_Lambrou έγραψε:
ΑΩΚΝΟΣ έγραψε: Ζητείται η κατασκευή, με κανόνα και διαβήτη, των τριχοτόμων των γωνιών :
α) $\widehat{Z \Gamma \Delta}$
β) $\widehat{\Delta \Gamma E}$
γ) $\widehat{\Theta AH}$

Ή είμαι κουρασμένος μετά από πολλή κοποιαστική μέρα ή δεν βλέπω κάτι:

Αν πάρουμε και $B=\Gamma = 70^o$ , τότε $\Delta \Gamma E = 30^o$ και $\Theta AH=60^o$ και $Z \Gamma \Delta$ . Να όμως που δεν τριχοτομείται με κανόνα και διαβήτη ούτε η μία ούτε η άλλη ούτε η παρά άλλη. Και οι τρεις οδηγούν σε κατασκευή γωνίας που δεν είναι εφικτή με Ευκλείδεια μέσα.

Χάνω κάτι;

Δεν νομίζω να χάνεις κάτι Μιχάλη.Και εμένα αυτές μου βγαίνουν.Η $\angle Z\Gamma \Delta =150^{O}$

Mihalis_Lambrou έγραψε:... και $Z \Gamma \Delta$

Σταύρο, όλα καλά λοιπόν, με μόνη διαφορά ότι στην παραπάνω ισότητα ξέχασα να πληκτρολογήσω το ίσον του. Εννοώ $Z \Gamma \Delta = 150^o$ , όπως λες. (Το ξέχασα καθώς χθες είχα πολλήήήήη κοπιαστική μέρα: Κουβάλησα με τα χεράκια μου 1,5 τόνο βιβλία και άλλα τόσα ο συνεργάτης μου χώρια την υπόλοιπη εργασία για τον διαγωνισμό Καγκουρό, με 110

Κέντρα Εξέτασης).

Πάντως αυτό που επισημαίνω είναι ότι οι γωνίες $30^o, \, 60^o, \, 150 ^o$ δεν τριχοντομούνται με ευκλείδεια μέσα καθώς οδηγούν σε κατασκευή γωνίας 10^o

. Ως γνωστόν, από Θεωρία Galois, δεν γίνεται.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
ΑΩΚΝΟΣ έγραψε: Ζητείται η κατασκευή, με κανόνα και διαβήτη, των τριχοτόμων των γωνιών :
α) $\widehat{Z \Gamma \Delta}$
β) $\widehat{\Delta \Gamma E}$
γ) $\widehat{\Theta AH}$

Ή είμαι κουρασμένος μετά από πολλή κοποιαστική μέρα ή δεν βλέπω κάτι:

Αν πάρουμε και $B=\Gamma = 70^o$ , τότε $\Delta \Gamma E = 30^o$ και $\Theta AH=60^o$ και $Z \Gamma \Delta$ . Να όμως που δεν τριχοτομείται με κανόνα και διαβήτη ούτε η μία ούτε η άλλη ούτε η παρά άλλη. Και οι τρεις οδηγούν σε κατασκευή γωνίας που δεν είναι εφικτή με Ευκλείδεια μέσα.

Χάνω κάτι;
Δεν νομίζω να χάνεις κάτι Μιχάλη.Και εμένα αυτές μου βγαίνουν.Η $\angle Z\Gamma \Delta =150^{O}$

Και όμως την πατήσαμε και οι δύο.Οι γωνίες τριχοτομούνται.

Αν $\angle A=\varphi$ τότε ένας απλός υπολογισμός δίνει

$\angle Z\Gamma \Delta =90+\frac{3}{2}\varphi ,\angle \Delta\Gamma E=90-\frac{3}{2}\phi ,\angle \Theta AH=180-3\varphi$

Αφου η $\varphi$ είναι γνωστή η $\frac{\varphi }{2}$ κατασκευάζετε και άρα οι παραπάνω τριχοτομούνται.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Και όμως την πατήσαμε και οι δύο.Οι γωνίες τριχοτομούνται.

Σταύρο, ενδιαφέρον αυτό που λες. Το δέχομαι αλλά κατά βάθος η άσκηση λέει "σου δίνω την γωνία $\phi$ , δείξε μου πώς τριχοτομείται η $3\phi$ . Όντως την πατήσαμε.

Αγαπητοί φίλοι Καλημέρα.
Για την επίλυση των αποριών που εδώ έχουν προκύψει, σας παραπέμπω ΕΔΩ [Συνημμένο (Πρόταση , Πρόβλημα ) και συνημμένο (Πρόταση , Πρόβλημα )]. Εκεί θα βρείτε την Άσκηση αυτή και πιστεύω ότι θα βρείτε και τις απαντήσεις των προβληματισμών σας.

Επίσης παραπέμπω και ΕΔΩ, συνημμένο (Πρόταση και Πρόβλημα ), που πρόκειται να αναρτήσω αργότερα και όπου θα αναφέρονται τριχοτομήσεις της γωνίας της διαφοράς των γωνιών ισοσκελών τριγώνων.

Είναι προφανές ότι η λύση του Προβλήματος αυτού, δεν μας δίνει λύση στο γνωστό άλυτο Πρόβλημα της τριχοτόμησης τυχαίας γωνίας που εμείς θέλουμε να τριχοτομήσουμε, καθώς τη γωνία ΑΓΔ δεν την επιλέγουμε εμείς, αλλά μας προκύπτει αυτόματα ως διαφορά των γωνιών ισοσκελούς τριγώνου, που εμείς δεν είναι δυνατό να προκαθορίσουμε, καθώς τότε καταλήγουμε στην τριχοτόμηση της ίδιας της γωνίας ΑΓΔ. Δηλαδή καταλήγουμε στο ζητούμενο του Προβλήματος αυτού.

Αν απαιτηθεί θα επανέλθω με περισσότερες λεπτομέρειες.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

ΑΩΚΝΟΣ

Αγαπητοί κύριοι και σεβαστοί δάσκαλοι, σας ευχαριστώ για τις άμεσες απαντήσεις σας στο θέμα που ουσιαστικά επανέφερα (είχε ήδη αναρτηθεί από το διακεκριμένο μέλος του mathematica.gr ΝΙΚΟΣ, ΕΔΩ (Κυρ Νοέμ 27, 2016), αλλά μάλλον δεν έτυχε προσοχής, ούτε και απάντησης βεβαίως.
Ο μόνος περιορισμός που ετέθη στο σχήμα-κατασκευή είναι το μέτρο της γωνίας $\widehat{A}$ να μην ξεπερνά τις 60° (για καλύτερη εποπτεία).
Τα ζητούμενα της άσκησης είναι δυο : ένα κατασκευαστικό και ένα υπολογιστικό.
Στο κατασκευαστικό ζητήθηκε η κατασκευή, με κανόνα και διαβήτη, των τριχοτόμων των γωνιών :
α) $\widehat{Z \Gamma \Delta}$
β) $\widehat{\Delta \Gamma E}$
γ) $\widehat{\Theta AH}$
και στο υπολογιστικό ζητήθηκε, για την περίπτωση που η $\widehat{\Delta \Gamma E}=30°$ ,
να υπολογιστεί το μέτρο που θα έχουν οι γωνίες $\widehat{\Gamma AB}$ και $\widehat{\Theta AH}$ (που εκ παραδρομής έγραψα $\widehat{BA \Theta}$ ).

Στο πρώτο ζητούμενο ο κ. Παπαδόπουλος Σταύρος συμφώνησε πως είναι εφικτή η κατασκευή, με κανόνα και διαβήτη, των τριχοτόμων των γωνιών :
α) $\widehat{Z \Gamma \Delta}$
β) $\widehat{\Delta \Gamma E}$
γ) $\widehat{\Theta AH}$
φέρνοντας την διχοτόμο της γωνίας $\widehat{A}$ = $\varphi$ ,
ενώ ο κ. Λάμπρου Μιχάλης (αν κατάλαβα σωστά ) το βρίσκει ενδιαφέρον αλλά δεν μπορεί να δεχτεί αυτό που συμβαίνει στο σχήμα-κατασκευή, επειδή κάποια μέτρα των γωνιών είναι απαγορευτικά από τη θεωρία Galois.
Θα παρακαλούσα, για μια ξεκάθαρη απάντηση για το αν η κατασκευή είναι εφικτή, για κάθε τιμή του μέτρου (που μπορεί να λάβει μέσα στα πλαίσια της άσκησης ) των γωνιών αυτών, είτε αυτά(τα μέτρα) μας είναι γνωστά είτε όχι.

Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων.

ΑΩΚΝΟΣ.

ΑΩΚΝΟΣ έγραψε: ενώ ο κ. Λάμπρου Μιχάλης (αν κατάλαβα σωστά ) το βρίσκει ενδιαφέρον αλλά δεν μπορεί να δεχτεί αυτό που συμβαίνει στο σχήμα-κατασκευή, επειδή κάποια μέτρα των γωνιών είναι απαγορευτικά από τη θεωρία Galois.
Θα παρακαλούσα, για μια ξεκάθαρη απάντηση για το αν η κατασκευή είναι εφικτή, για κάθε τιμή του μέτρου (που μπορεί να λάβει μέσα στα πλαίσια της άσκησης ) των γωνιών αυτών, είτε αυτά(τα μέτρα) μας είναι γνωστά είτε όχι.

Ίσως δεν έγινε κατανοητό αυτό που γράφω. Κάνω άλλη μία προσπάθεια: Η τριχοτόμηση είναι εφικτή για τετριμμένους λόγους. Ουσιαστικά σου δίνεται η γωνία $\phi$ και ζητείται η τριχοτόμηση της $3\phi$ .

Τώρα, μη μπερδεύουμε τα πράγματα: Το να δοθεί γωνία 50^o

κατασκευασμένη με κανόνα και διαβήτη δεν είναι εφικτό. Αν από την άλλη κάποιος κατασκευάσει με άλλο τρόπο γωνία 50^o

τότε μπορούμε να τριχοτομήσουμε την γωνία 150^o

. Πώς; Είναι απλούστατο και αυτονόητο, αλλά προϋποθέτει την δοσμένη γωνία 50^o.

Είναι τόσο απλό που δεν αξίζει το μελάνι που το περιγράφει.

Εν κατακλείδι, ας μας κατασκευάσει ο ΑΩΚΝΟΣ με κανόνα και διαβήτη γωνία 50^o

και θα του δείξουμε την μέθοδό μας να τριχοτομήσουμε την γωνία 150^o

.

ΑΩΚΝΟΣ

Mihalis_Lambrou έγραψε:Ουσιαστικά σου δίνεται η γωνία $\phi$ και ζητείται η τριχοτόμηση της 3 $\phi$ .

: Ποια είναι η φ και ποια η 3φ.png (45.25 KiB) Προβλήθηκε 1115 φορές

Σας παραθέτω τον πυρήνα της άσκησης, στην απλή της μορφή, όπου το ζητούμενο είναι η τριχοτόμηση, με κανόνα και διαβήτη, των γωνιών :

α) $\widehat{Z\Gamma \Delta}$

β) $\widehat{\Delta\Gamma E}$

Παρακαλώ, πείτε μου ποια είναι (στο παραπάνω σχήμα) η γωνία $\phi$ , που δίνει η άσκηση, και ποια είναι η 3 $\phi$ , όπου ζητείται (κατά τα λεγόμενά σας) να τριχοτομηθεί;

Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων.

ΑΩΚΝΟΣ

ΑΩΚΝΟΣ έγραψε:
Παρακαλώ, πείτε μου ποια είναι (στο παραπάνω σχήμα) η γωνία $\phi$ , που δίνει η άσκηση, και ποια είναι η 3 $\phi$ , όπου ζητείται (κατά τα λεγόμενά σας) να τριχοτομηθεί;

Εδώ $3\phi$ είναι η $\gamma$ που ζητείται να τριχοτομηθεί, όπου $\phi$ είναι η $30 + \frac {1}{2} \alpha.$

Κάτι ανάλογο για την άλλη προς τριχοτόμηση γωνία (τώρα $\phi =30 - \frac {1}{2} \alpha.$ )

ΑΩΚΝΟΣ

Mihalis_Lambrou έγραψε:Εδώ 3 $\phi$ είναι η $\gamma$ που ζητείται να τριχοτομηθεί, όπου $\phi$ είναι η $30 + \frac {1}{2} \alpha$ .

Κάτι ανάλογο για την άλλη προς τριχοτόμηση γωνία (τώρα $\phi =30 - \frac {1}{2} \alpha$ .)

Σας ευχαριστώ για την άμεση απάντηση. Η σχέση που δίνετε είναι σωστή (θα με ενδιέφερε ο τρόπος που καταλήξατε σε αυτήν την σχέση),
αλλά νομίζω ότι η γωνία $\phi$ , που περιγράφετε, δεν είναι στα δεδομένα της άσκησης
και σίγουρα δεν είναι η ίδια γωνία $\phi$ στην οποία αναφέρεται ο κ. Σταύρος Παπαδόπουλος.

Ευχαριστώ για την πολύτιμη βοήθειά σας ( σιγά σιγά θα ξεμπερδέψουμε τον "μίτο της Αριάδνης"

).

ΑΩΚΝΟΣ.

fmak65

Το πρόβλημα της τριχοτόμησης γωνίας είναι να σου δοθεί η τυχαία γωνία και εσύ να την τριχοτομήσης.
Το πρόβλημα που δίνεται εδώ, είναι δίνεται η γωνία α, προφανώς μπορούμε να κατασκευάσουμε την γωνία β και η γωνία γ είναι άθροισμα της εξωτερικής του τριγώνου (β+α) και ενός κομματιού της β που είναι ίσο με την α.
Άρα η γωνία που ζητείται να τριχοτομηθεί, περιέχει την γωνία α, άρα δεν είναι τυχαία γωνία , αλλά μια εξαρτώμενη από την α.
Αν μπορείς με δοσμένη την τυχαία γ γωνία, με κανόνα και διαβήτη να κατασκευάσεις την γωνία α, δηλαδή να βρείς στην προέκταση της ΓΖ το σημείο Α , που αν ενωθεί με το σημείο Δ της γωνίας γ, να υπάρχει στην ΑΔ σημείο Β που να απέχει ίση απόσταση από το Γ όση και το Δ, αλλά ταυτόχρονα ίση απόσταση από το Α όση και το Γ, τότε ναι μπορείς να τριχοτομήσεις την τυχαία γωνία γ.

Φώτη, πολύ σωστά αυτά που γράφεις και σίγουρα θα βοηθήσουν τον ΑΩΚΝΟ να ξεκαθαρίσει μερικά πράγματα.

Επειδή σε προηγούμενο ποστ μου αναφέρθηκα στην γωνία 150^o

, ας εξηγήσω λίγο περισσότερο, πάλι για όφελος του ΑΩΚΝΟΥ.

'Εστω ότι μας δίνουν την γωνία $\alpha = 40^o$ . Ουσιαστικά είναι σαν να μας δίνουν την 50^o

ως συπληρωματική της. Σε αυτή την περίπτωση βγαίνει (απλό) $\gamma = 150^o$ , την οποία θέλουμε να τριχοτομήσουμε. Όμως αυτό είναι άμεσο γιατί η $\frac {1}{3} \times 150^o = 50^o$ είναι ουσιατικά δοσμένη. Άρα δεν έχουμε τίποτα το εξαιρετικό να κάνουμε, αλλά τα ζητούμενα είναι, ουσιαστικά, στα δεδομένα μας.

Συμβαίνει το ίδιο με όλες τις περιπτώσεις, όπως έδειξα στο προηγούμενο ποστ μου.

Ας επαναλάβω ότι η γωνία 50^o

, όπως και η 40^o

, δεν κατασκευάζονται με κανόνα και διαβήτη. Μόνο αν μας τις δώσει κανείς (δηλαδή να τις κατασκευάσει με άλλο τρόπο) τότε και μόνον τότε τριχοτομούμε με ευκλείδεια μέσα την γωνία 150^o

, αλλά το ζητούμενο γίνεται αυτοστιγμή.

ΑΩΚΝΟΣ έγραψε:
σιγά σιγά θα ξεμπερδέψουμε τον "μίτο της Αριάδνης"

Δεν νομίζω. Τα πράγματα είναι πολύ απλά και δεν υπάρχει κανένας μίτος εδώ.

ΑΩΚΝΟΣ έγραψε:
Παρακαλώ, πείτε μου ποια είναι (στο παραπάνω σχήμα) η γωνία $\phi$ , που δίνει η άσκηση, και ποια είναι η 3 $\phi$ , όπου ζητείται (κατά τα λεγόμενά σας) να τριχοτομηθεί;

Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων.

ΑΩΚΝΟΣ

Καλημέρα σε όλους. Κομίζων γλαύκας εις Αθήναν, ας γράψω αναλυτικά, αυτό που επανειλημμένα αναφέρουν ο Μιχάλης (προτίστως) και ο Φώτης (επικουρικά).

: 13-3-2017 Γεωμετρία.png (12.93 KiB) Προβλήθηκε 1011 φορές

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC

με γωνία $\displaystyle \widehat A = \varphi \le 60^\circ$ .

Τότε $\displaystyle \widehat B = \widehat C = 90^\circ - \frac{\varphi }{2}$ .
Κατασκευάζουμε κύκλο (B, BC)

, που τέμνει την

στο

.

Επειδή BDC

ισοσκελές, είναι $\displaystyle \widehat {BDC} = \widehat C = 90^\circ - \frac{\varphi }{2} \Rightarrow \widehat {ADB} = 180^\circ - \left( {90^\circ - \frac{\varphi }{2}} \right) = \frac{\varphi }{2} + 90^\circ$ .

Οπότε $\displaystyle \widehat {DBC} = \widehat {ADB} - \widehat C = \frac{\varphi }{2} + 90^\circ - 90^\circ + \frac{\varphi }{2} = \varphi$ .

Τότε $\displaystyle \widehat {ZBD} = \widehat {ZBC} + \widehat {DBC} = 180^\circ - \left( {90^\circ - \frac{\varphi }{2}} \right) + \varphi = 90^\circ + \frac{{3\varphi }}{2}$ .

Τώρα εύκολα τριχοτομώ τη γωνία $\widehat {ZBD}$ .

Με άλλα λόγια, ας δούμε τον πυρήνα του πυρήνα της άσκησης: Τι λέει η αρχική εκφώνηση:
Σού δίνω μια γωνία $\varphi$ . Κατασκευάζεις την τριπλάσια της $\varphi$ . Κατόπιν κατασκευάζεις το μισό της. Προσθέτεις και $90^\circ$ και έχεις φτιάξει μια νέα γωνία την οποία ασφαλώς και μπορείς να τριχοτομήσεις.

Ας αφαιρέσουμε και τα άλλα περιττά ( $90^\circ$ και μισό της γωνίας): Η ουσία που μένει είναι: Αν σου δώσω μια γωνία, μπορείς να κατασκευάσεις την τριπλάσια γωνία; Απ. Ναι, μπορώ. Τώρα μπορείς να τριχοτομήσεις τη νέα γωνία που έφτιαξες; Απ. Ναι, μπορώ.

Θύμιος Κοσυφαρίνης

Μία λύση στην τριχοτόμηση τυχαίας γωνίας με κανόνα και διαβήτη είναι στο e-trichotomy.blogspot.com 3,4,5 σχέδιο , θεωρώ ότι είναι μια γενική μέθοδο.

Σίγουρα κάπου υπάρχει λάθος αφού είναι γνωστό ότι π.χ. η γωνία $60^{\circ}$ δεν μπορεί να τριχοτομηθεί με χρήση κανόνα και διαβήτη μόνο.

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 10, 2019 9:29 pm
Σίγουρα κάπου υπάρχει λάθος αφού είναι γνωστό ότι π.χ. η γωνία $60^{\circ}$ δεν μπορεί να τριχοτομηθεί με χρήση κανόνα και διαβήτη μόνο.

Δυστυχώς Δημήτρη, οι επίδοξοι τροχοτομηστές δεν ακούνε, ότι μα ότι και να πεις. Το ίδιο και οι τετραγωνιστές, και οι διπλασιαστές.

Το θέμα της τριχοτόμησης είναι λήξαν προ πολλού. Πλην όμως κάθε τόσο εμφανίζονται άτομα με περιορισμένη μαθηματική παιδεία
που, δώσ' του από την αρχή και με απίστευτη εμμονή, "τριχοτομούν" την γωνία ή "τετραγωνίζουν" τον κύκλο ή "διπλασιάζουν" τον κύβο. Έχω μεγάλη πείρα στο θέμα και δηλώνω ότι δεν πείθονται. Ακόμη χειρότερα, δεν έχουν την παιδεία να καταλάβουν το σφάλμα όταν τους το υποδείξεις. Ο κανόνας αυτός είναι ΧΩΡΙΣ εξαιρέσεις ας φαίνεται δογματικός.

Πριν από ενάμιση αιώνα η Γαλλική Ακαδημία είναι έτοιμες τυπωμένες κάρτες που έλεγαν:

Το πρώτο σφάλμα στην μέθοδό σας είναι στην σελίδα _____ γραμμή ______ .

Τύπωσαν τις κάρτες γιατί είχαν απηυδήσει από τους επίδοξους τριχοτομηστές, τετραγωνιστές και διπλασιαστές.

Ενδιαφέροντα στο θέμα είναι τα σχετικά βιβλία του Dudley, όπως το Α Budget of trisectors. Βλέπε εδώ.

Ναι Μιχάλη.

Να διευκρινίσω πως όταν είπα «Σίγουρα κάπου υπάρχει λάθος» εννοούσα «Σίγουρα κάπου υπάρχει λάθος αλλά δεν πρόκειται καν να μπω στον κόπο να ψάξω να το βρω».

ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ

Μέλη σε σύνδεση