Δύο τρίγωνα κι ένα τετράγωνο

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11356
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δύο τρίγωνα κι ένα τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 06, 2016 8:55 pm

Δύο  τρίγωνα κι ένα  τετράγωνο.png
Δύο τρίγωνα κι ένα τετράγωνο.png (11.45 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές
Με βάσεις τις τρεις πλευρές τριγώνου \displaystyle ABC , εγγεγραμμένου σε κύκλο

ακτίνας R , σχεδιάζουμε δύο ισόπλευρα τρίγωνα κι ένα τετράγωνο .

Αναζητούμε το μέγιστο του αθροίσματος των τριών εμβαδών .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
polysindos
Δημοσιεύσεις: 140
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am

Re: Δύο τρίγωνα κι ένα τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysindos » Πέμ Οκτ 06, 2016 11:37 pm

cos(2B)=cos(2C)=-\dfrac{\sqrt{3}}{8}

με μερικές παραγώγους

περιμένοντας πιο σύντομη λύση


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8950
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δύο τρίγωνα κι ένα τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 06, 2016 11:59 pm

Το άθροισμα των εμβαδών είναι: \displaystyle{E = 4{R^2}{\sin ^2}A + {R^2}\sqrt 3 \left( {{{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C} \right)}

Για \hat{B}=\hat{C}=x (γιατί;) αυτό δίνεται από τον τύπο:\displaystyle{E(x) = R^2\left( {4{{\sin }^2}2x + 2\sqrt 3 {{\sin }^2}x} \right)}

και με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω ότι παρουσιάζει μέγιστο όταν \displaystyle{\cos 2x =  - \frac{{\sqrt 3 }}{8}}, ίσο με \boxed{{E_{\max }} = \frac{{{R^2}}}{{16}}\left( {67 + 16\sqrt 3 } \right)}


Άβαταρ μέλους
polysindos
Δημοσιεύσεις: 140
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am

Re: Δύο τρίγωνα κι ένα τετράγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysindos » Παρ Οκτ 07, 2016 9:58 am

E=a^{2}+b^{2}\dfrac{\sqrt{3}}{4}+c^{2}\dfrac{\sqrt{3}}{4}

E=(b^{2}+c^{2})(1+\dfrac{\sqrt{3}}{4})-2bc\cdot cos\left ( A \right )

E=R^{2}\left ( (sin^{2}B+sin^{2}C) \cdot \left ( 4+\sqrt{3} \right )+2sin\left ( 2B \right )\cdot sin\left ( 2c \right )-8sin^{2}B\cdot sin^{2}C\right )


σε πιο απλή μορφή E=R^{2}\left ( 2+\sqrt{3} -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left ( cos\left ( 2B \right )+cos\left ( 2C \right ) \right )-2cos\left ( 2\left ( B+C \right ) \right )\right )

οι μερικές παράγωγοι \dfrac{\partial E}{\partial B}=0,\dfrac{\partial E}{\partial C}=0

μας οδηγούν στο B=C


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11356
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Δύο τρίγωνα κι ένα τετράγωνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Οκτ 07, 2016 9:45 pm

Δύο  τρίγωνα κι ένα τετράγωνο.png
Δύο τρίγωνα κι ένα τετράγωνο.png (16.82 KiB) Προβλήθηκε 486 φορές
Τα δύο τρίγωνα έχουν εμβαδόν \dfrac{\sqrt{3}}{4}(b^2+c^2) . Με δεδομένη την πλευρά a , επειδή

b^2+c^2=a^2+2bccosA , το b^2+c^2 μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιηθεί το bc .

Αλλά bc\cdot sinA=a\cdot AM , οπότε το bc μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιηθεί το AM ,

δηλαδή προφανώς όταν b=c . Ονομάζω a=2x , s το απόστημα της a και για απλούστευση

των πράξεων , παίρνω R=1 . Τώρα s^2=1-x^2 και b^2=(1+s)^2+x^2=1+s^2+2s+x^2

=1+1-x^2+2s+x^2=2+2s , οπότε b^2=2(1+\sqrt{1-x^2}) . Το ζητούμενο , λοιπόν ,

άθροισμα είναι το E(x)=4x^2+\dfrac{b^2\sqrt{3}}{2}=4x^2+\sqrt{3}(1+\sqrt{1-x^2}) , 0\leq x\leq 1 .

Η συνάρτηση έχει παράγωγο E'(x)=x(8-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{1-x^2}}) και μηδενίζεται για x=\dfrac{\sqrt{61}}{8}

και πλέον βρίσκουμε μέγιστο το E_{max}=\dfrac{67+16\sqrt{3}}{16}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης