Μέγιστη γωνία

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10310
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστη γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιουν 24, 2015 7:47 pm

Μέγιστη  γωνία.png
Μέγιστη γωνία.png (9.25 KiB) Προβλήθηκε 1048 φορές
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC οι AB,AC έχουν σταθερά μήκη , ( 4 και 6 ) , ενώ η βάση BC μεταβάλλεται .

Σχεδιάζουμε την τέμνουσα DEZ , με τα δεδομένα του σχήματος . Υπολογίστε το μέγιστο μέτρο της \phi .

Τροφή για μελέτη : Εξετάστε τη δυνατότητα λύσης στη γενική περίπτωση ...


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10310
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μέγιστη γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μάιος 14, 2016 9:02 am

Κρίμα να κλείσει χρόνο . Διευκόλυνση : Δείξτε ότι το μέγιστο μέτρο της \phi , είναι 30^0 !


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7584
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστη γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 14, 2016 11:35 am

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Μέγιστη γωνία.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC οι AB,AC έχουν σταθερά μήκη , ( 4 και 6 ) , ενώ η βάση BC μεταβάλλεται .

Σχεδιάζουμε την τέμνουσα DEZ , με τα δεδομένα του σχήματος . Υπολογίστε το μέγιστο μέτρο της \phi .

Τροφή για μελέτη : Εξετάστε τη δυνατότητα λύσης στη γενική περίπτωση ...
Καλημέρα Θανάση!
Μέγιστη γωνία.png
Μέγιστη γωνία.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές
Στο τρίγωνο ABC με διατέμνουσα DEZ, ο Μενέλαος δίνει: \displaystyle{\frac{1}{3} \cdot \frac{{ZB}}{{CZ}} \cdot \frac{2}{4} = 1 \Leftrightarrow BZ = 6CZ}.
Φέρνω EH||AB και από τις αναλογίες προκύπτουν \displaystyle{EH = \frac{4}{3},BH = 2HC \Leftrightarrow CZ = \frac{3}{5}HC}. Αν λοιπόν CZ=3x, τότε HC=5x και HB=10x.

Θεώρημα Stewart στο EHZ: \displaystyle{E{Z^2}5x + \frac{{16x}}{3} = 32x + 120{x^3} \Leftrightarrow E{Z^2} = \frac{{72{x^2} + 16}}{3}}

Νόμος συνημιτόνων στο ECZ: \displaystyle{4 = 9{x^2} + \frac{{72{x^2} + 16}}{3} - 6x\sqrt 3 \sqrt {72{x^2} + 16} \sigma \upsilon \nu \varphi  \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi  = \frac{{(99{x^2} + 4)\sqrt 3 }}{{18x\sqrt {72{x^2} + 16} }}}

Με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω ότι η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \frac{{(99{x^2} + 4)\sqrt 3 }}{{18x\sqrt {72{x^2} + 16} }}} παρουσιάζει ελάχιστη τιμή για \displaystyle{x = \frac{{2\sqrt 7 }}{{21}}} ίση με \displaystyle{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}

Άρα η μέγιστη τιμή της γωνίας είναι \boxed{{\varphi _{\max }} = {30^0}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10310
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μέγιστη γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μάιος 14, 2016 7:27 pm

Μέγιστη  γωνία.png
Μέγιστη γωνία.png (12.04 KiB) Προβλήθηκε 620 φορές
Η λύση του προτείναντος : Μενέλαος στο ABC με διατέμνουσα DEZ , δίνει CZ=\dfrac{a}{5}

Μενέλαος στο DBZ με διατέμνουσα AEC , δίνει EZ=\dfrac{4}{5}DE , ( DE=x)

Νόμος συνημιτόνου στο ZEC , δίνει cos\phi=\dfrac{16x^2+a^2-100}{8ax} (1)

Νόμος συνημιτόνου στο ZDB , δίνει cos\phi=\dfrac{81x^2+36a^2-225}{108ax} (2)

Εξισώνοντας τις (1),(2) , παίρνουμε : a^2=6x^2-50 και αντικαθιστώντας στην (1) , παίρνουμε :

cos\phi=f(x)=\dfrac{11x^2-75}{4x\sqrt{6x^2-50}} . Η συνάρτηση αυτή έχει παράγωγο f'(x)=\dfrac{25(7x^2-75)}{\theta\epsilon\tau}

και παρουσιάζει ελάχιστο το \dfrac{\sqrt{3}}{2} για x^2=\dfrac{75}{7} , οπότε \phi_{max}=30^0 για a=\dfrac{10\sqrt{7}}{7} .

Σημείωση : Η "ανακάλυψη" του γεγονότος ότι \phi_{max}=30^0 , έγινε συμπτωματικά

( από το "θείο δώρο" Geogebra ) και άντε μετά να το αποδείξεις :ewpu:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6215
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστη γωνία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 14, 2016 11:41 pm

Τελικά το εντυπωσιακό αυτό θέμα έχει λύση χωρίς χρήση συναρτήσεων . Με λίγη επιμονή και ... αρμονία ξεκλειδώθηκε.

Αν δεν απαντηθεί μέχρι αύριο βράδυ θα δώσω τη λύση .


Φιλικά Νίκος


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10310
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μέγιστη γωνία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 27, 2018 3:11 pm

Νίκο , αν στις σημειώσεις σου , έχεις "κρατήσει" τη λύση που προανήγγειλες ,

θα ήθελα όντως να την δω :huh:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6215
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστη γωνία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 28, 2018 12:18 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 27, 2018 3:11 pm
Νίκο , αν στις σημειώσεις σου , έχεις "κρατήσει" τη λύση που προανήγγειλες ,

θα ήθελα όντως να την δω :huh:
Στο \vartriangle ABC με διατέμνουσα \overline {DEZ} έχω :

\dfrac{{AD}}{{DB}} \cdot \dfrac{{BZ}}{{ZC}} \cdot \dfrac{{CE}}{{EA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{{BZ}}{{ZC}} \cdot \dfrac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow \boxed{BZ = 6ZC} αν λοιπόν CZ = m\, τότε BC = 5m

Στο ισοσκελές τρίγωνο ABE φέρνω τη διάμεσο AM ( που είναι και ύψος) και τέμνει την BC στο N . Στο E επί την BE φέρνω κάθετη που τέμνει την BC στο P.

Έτσι αν ονομάσω BN = 2x \Rightarrow NP = 2x \Rightarrow BP = 4x. Αλλά \dfrac{{CP}}{{PN}} = \dfrac{{CE}}{{EA}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow CP = \dfrac{1}{2}PN = x και άρα BC = 5x δηλαδή \boxed{x \equiv m}, έτσι αν L το

μέσο του NP θα είναι : \boxed{BN = 2m\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NL = LP = PC = CZ = m} Μετά απ’ αυτά
Παλιο καλό  κρασί_KARKAR.png
Παλιο καλό κρασί_KARKAR.png (27.91 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές
θα ισχύουν ταυτόχρονα :\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{PL}}{{PZ}} = \frac{{BL}}{{BZ}} = 2 \hfill \\ 
  BE \bot EP \hfill \\  
\end{gathered}  \right. σχέσεις που μας εξασφαλίζουν ότι η

τετράδα P,B\backslash L,Z είναι αρμονική και επί πλέον στο \vartriangle ELZ οι EP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EB είναι εσωτερική και εξωτερική διχοτόμοι αντίστοιχα.

Αν λοιπόν EL = t \Rightarrow EZ = 2t επειδή \dfrac{t}{{\sin \theta }} = \dfrac{{2t}}{{\sin \phi }} \Rightarrow 2\sin \theta  = \sin \phi  \leqslant 1 δηλαδή η μεγαλύτερη τιμή του \sin \theta είναι \dfrac{1}{2} κι αφού \theta οξεία θα έχει μεγίστη τιμή 30^\circ .

Παλιο καλό  κρασί_teliko.png
Παλιο καλό κρασί_teliko.png (23.73 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10310
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μέγιστη γωνία

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 28, 2018 11:39 am

Γι αυτό χρειάζονται οι - διαδικτυακοί έστω - φίλοι . Για να σου φτιάχνουν τη μέρα :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης