mathematica.gr • Άλυτη άσκηση στα τυχαία τετράπλευρα

Σελίδα 1 από 1

Άλυτη άσκηση στα τυχαία τετράπλευρα

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιουν 20, 2015 3:07 pm

από arismou

Μια άσκηση που έθεσα στον εαυτό μου πριν από καιρό αλλά ακόμη μου αντιστέκεται (μεγαλοπρεπώς) είναι η εξής:

Να βρεθεί η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε οι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών ενός τυχαίου κυρτού τετραπλεύρου να τέμνονται εντός του τετραπλεύρου.

Αριστείδης Μουζακίτης

Re: Άλυτη άσκηση στα τυχαία τετράπλευρα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιουν 30, 2015 5:06 pm

από gbaloglou

Κάποιες σκέψεις ... αναλυτικές (με κάποιες ... επιφυλάξεις):

Ας πούμε ότι οι τρεις κορυφές είναι γνωστές: O=(0,0), A=(a,ra), B=(b,-rb),

O=(0,0), A=(a,ra), B=(b,-rb),

όπου

a, b, r

θετικοί, είναι δηλαδή ο άξονας των

διχοτόμος της AOB

AOB

. Το ερώτημα είναι: που μπορεί να βρίσκεται η τέταρτη κορυφή, E=(c,d)

E=(c,d)

, έτσι ώστε η διχοτόμος της BEA

BEA

να τέμνει τον άξονα των

δεξιά του

και εντός του τετραπλεύρου;

Ας παρατηρηθεί εδώ ότι αυτό που θέλουμε είναι ισοδύναμο, αν μεν d>0

d>0

προς την

Oa<Ob

, αν δε

d<0

προς την

Oa>Ob

, όπου

Oa, Ob

οι αποστάσεις του

από τις

EA, EB,

αντίστοιχα. Αυτό που μπορούμε επομένως να κάνουμε είναι να βρούμε την εξίσωση και το γράφημα της Oa=Ob

Oa=Ob

, και αναλόγως να προσδιορίσουμε τις επιθυμητές περιοχές.

Στο συνημμένο βλέπετε ένα παράδειγμα για a=3, b=1, r=2

a=3, b=1, r=2

: έχω ευνοήτως αντικαταστήσει τα c, d

c, d

από τα

x, y

, και έχω παραλείψει τις υπολογιστικές λεπτομέρειες (παραθέτοντας ωστόσο την εξίσωση της Oa=Ob

Oa=Ob

) -- βλέπουμε ότι υπάρχει μία 'μικρή' αποδεκτή περιοχή πάνω από τον άξονα των

στα δεξιά φυσικά της

, ενώ τα πράγματα είναι πολύ πιο εύκολα κάτω από τον άξονα των

... πλην μιας κάποιας αξιοπρόσεκτης απαγορευμένης περιοχής (που έχω επισημάνει με κόκκινο).

Γιώργος Μπαλόγλου