Ισόπλευρο και χαρταετός

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους!

: 27-4 Ισόπλευρο και χαρταετός.png (189.23 KiB) Προβλήθηκε 1179 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο και ο κύκλος εφάπτεται των CA,CB

στα

αντιστοίχως.

Τυχαία ευθεία από το

τέμνει τον κύκλο στα S,T

.
Η παράλληλη από το

προς την

τέμνει την

στο

και η παράλληλη από το

προς την

τέμνει την

στό

Να εξεταστεί αν το είναι χαρταετός , δηλ η μια διαγώνιος είναι μεσοκάθετος της άλλης.

Όσοι θεωρούμε τη λύση σχεδόν προφανή, παρακαλώ να μην βιαστούμε ν' απαντήσουμε..Ίσως χαρούμε κάποια νέα λύση!

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Henri van Aubel · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 27, 2023 7:00 am
Καλημέρα σε όλους!
27-4 Ισόπλευρο και χαρταετός.png
Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και ο κύκλος εφάπτεται των στα αντιστοίχως.

Τυχαία ευθεία από το τέμνει τον κύκλο στα .
Η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο και η παράλληλη από το προς την τέμνει την στό

Να εξεταστεί αν το είναι χαρταετός , δηλ η μια διαγώνιος είναι μεσοκάθετος της άλλης.

Όσοι θεωρούμε τη λύση σχεδόν προφανή, παρακαλώ να μην βιαστούμε ν' απαντήσουμε..Ίσως χαρούμε κάποια νέα λύση!

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Γειά σου Γιώργο! Ωραίο θέμα!

Έχουμε $\displaystyle \frac{AE}{AB}=\frac{\sin 120^\circ}{\sin \angle AEB}=\frac{\sin \angle BSA}{\sin \angle SBA}=\frac{AB}{AS}\Leftrightarrow AC^{2}=AE\cdot AS\left ( \ast \right )$

Από $\left ( \ast \right )$ προκύπτει ότι η

εφάπτεται του κύκλου $\left ( ESC \right )$ στο

Οπότε έχουμε $\angle ACE=\angle ASC=\angle TAC=\angle ACB+\angle TAB.$

Συνεπώς είναι $\angle BCE=\angle TAB^{LE\parallel AT}=\angle BLE:(1)$

Ακόμα έχουμε $\displaystyle \angle CBE^{BE\parallel AC}=\angle ACB=\angle BAC=60^\circ=\frac{\angle LBC}{2},$

δηλαδή $\angle CBE=\angle LBE:(2)$

Από $\left ( 1 \right ),\left ( 2 \right )\Rightarrow \vartriangle BLE=\vartriangle BCE$ άρα τελειώσαμε.

Υ.Σ Νιώθω ότι υπάρχει απλούστερη λύση!

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 27, 2023 7:00 am
Καλημέρα σε όλους!
27-4 Ισόπλευρο και χαρταετός.png
Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και ο κύκλος εφάπτεται των στα αντιστοίχως.

Τυχαία ευθεία από το τέμνει τον κύκλο στα .
Η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο και η παράλληλη από το προς την τέμνει την στό

Να εξεταστεί αν το είναι χαρταετός , δηλ η μια διαγώνιος είναι μεσοκάθετος της άλλης.

Όσοι θεωρούμε τη λύση σχεδόν προφανή, παρακαλώ να μην βιαστούμε ν' απαντήσουμε..Ίσως χαρούμε κάποια νέα λύση!

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλό μεσημέρι!

Από $\displaystyle AC||BE$ είναι $\displaystyle L\widehat BE = C\widehat BE = 60^\circ$ και από τη σχέση εγγεγραμμένης και γωνίας χορδής εφαπτομένης,

προκύπτει ότι οι πράσινες γωνίες είναι ίσες. Άρα η

εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του BSE.

: Ισόπλευρο και χαρταετός.png (21.54 KiB) Προβλήθηκε 1123 φορές

Αλλά, $\displaystyle AC = AB \Leftrightarrow A{C^2} = A{B^2} = AS \cdot AE,$ απ' όπου φαίνεται ότι και οι πορτοκαλί γωνίες είναι ίσες.

Άρα τα τρίγωνα ATC, ACE

είναι ισογώνια, οπότε

$\displaystyle T\widehat AC = A\widehat CE \Leftrightarrow T\widehat AL + 60^\circ = 60^\circ + B\widehat CE\mathop \Leftrightarrow \limits^{AT||LE} B\widehat LE = B\widehat CE$ κι επειδή η

διχοτομεί την

$L\widehat BC$ το BLEC

είναι χαρταετός.

Henri van Aubel · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 27, 2023 12:56 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 27, 2023 7:00 am
Καλημέρα σε όλους!
27-4 Ισόπλευρο και χαρταετός.png
Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και ο κύκλος εφάπτεται των στα αντιστοίχως.

Τυχαία ευθεία από το τέμνει τον κύκλο στα .
Η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο και η παράλληλη από το προς την τέμνει την στό

Να εξεταστεί αν το είναι χαρταετός , δηλ η μια διαγώνιος είναι μεσοκάθετος της άλλης.

Όσοι θεωρούμε τη λύση σχεδόν προφανή, παρακαλώ να μην βιαστούμε ν' απαντήσουμε..Ίσως χαρούμε κάποια νέα λύση!

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλό μεσημέρι!

Από $\displaystyle AC||BE$ είναι $\displaystyle L\widehat BE = C\widehat BE = 60^\circ$ και από τη σχέση εγγεγραμμένης και γωνίας χορδής εφαπτομένης,

προκύπτει ότι οι πράσινες γωνίες είναι ίσες. Άρα η εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του Ισόπλευρο και χαρταετός.png
Αλλά, $\displaystyle AC = AB \Leftrightarrow A{C^2} = A{B^2} = AS \cdot AE,$ απ' όπου φαίνεται ότι και οι πορτοκαλί γωνίες είναι ίσες.

Άρα τα τρίγωνα είναι ισογώνια, οπότε

$\displaystyle T\widehat AC = A\widehat CE \Leftrightarrow T\widehat AL + 60^\circ = 60^\circ + B\widehat CE\mathop \Leftrightarrow \limits^{AT||LE} B\widehat LE = B\widehat CE$ κι επειδή η διχοτομεί την

$L\widehat BC$ το είναι χαρταετός.

Το σκέφτηκα αμέσως μετά αφού είχα πατήσει "υποβολή'', αλλά άφησα τη λύση μου ως έχει, γιατί το ήξερα ότι κάποιος θα δώσει αυτή τη λύση.

#5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 27, 2023 7:00 am
Καλημέρα σε όλους!
27-4 Ισόπλευρο και χαρταετός.png
Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και ο κύκλος εφάπτεται των στα αντιστοίχως.

Τυχαία ευθεία από το τέμνει τον κύκλο στα .
Η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο και η παράλληλη από το προς την τέμνει την στό

Να εξεταστεί αν το είναι χαρταετός , δηλ η μια διαγώνιος είναι μεσοκάθετος της άλλης.

Όσοι θεωρούμε τη λύση σχεδόν προφανή, παρακαλώ να μην βιαστούμε ν' απαντήσουμε..Ίσως χαρούμε κάποια νέα λύση!

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Το τετράπλευρο ATBS

είναι αρμονικό , η

είναι ο φορέας της από το

συμμετροδιαμέσου στο $\vartriangle TAB$ .

Έτσι όμως η δέσμη, $\left( {AT,AS\backslash AB,AC} \right)$ είναι αρμονική και αφού η

είναι

παράλληλη στην ακτίνα

της δέσμης θα τέμνει τρεις άλλες : $AB\,,\,\,AC\,,\,\,AS$ στα σημεία $L\,\,,\,\,D\,\,,\,E$ με το

να είναι μέσο του

: Ισόπλευρο και χαρταετός_μια προσπάθεια.png (32.56 KiB) Προβλήθηκε 1077 φορές

Μετά απ’ αυτά και το

είναι μέσο του

και άρα

Επειδή οι γωνίες $\widehat {\theta _{}^{}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {\omega _{}^{}}$ είναι αναγκαστικά από $60^\circ$ , τα τρίγωνα $BLE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BCE$ είναι ίσα και το τετράπλευρο BLEC

είναι χαρταετός

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλό βράδυ! Να ευχαριστήσω βεβαίως τους Κώστα,Γιώργο και Νίκο
και να δώσω μια προσέγγιση-αναδρομή

: 16-5 Ισόπλευρο...png (237.78 KiB) Προβλήθηκε 974 φορές

οι

και

τέμνονται στο

. Οπως και στην Φιλιππινέζα προκύπτει BE=BF

.

Από τα ίσα τρίγωνα BAF,BEL

έπεται

(το

παραλληλόγραμμο) και στο τρίγωνο LAC

η διάμεσος CB=AL/2

,

συνεπώς $LC \perp AC \parallel BE...$ Φιλικά πάντοτε, Γιώργος.

Ισόπλευρο και χαρταετός

Ισόπλευρο και χαρταετός

Re: Ισόπλευρο και χαρταετός

Re: Ισόπλευρο και χαρταετός

Re: Ισόπλευρο και χαρταετός

Re: Ισόπλευρο και χαρταετός

Re: Ισόπλευρο και χαρταετός

Μέλη σε σύνδεση