Ορθόκεντρο, περίκεντρο και βλέπουμε...

#1

Μόλις μου την έστειλαν και τη γράφω. Δεν την έχω κοιτάξει ακόμα. (Το μόνο που έχω ελέγξει είναι την ισότητα για το ισόπλευρο).

: Ορθόκεντρο, περίκεντρο και βλέπουμε....png (18.9 KiB) Προβλήθηκε 885 φορές

Τρίγωνο

με ορθόκεντρο

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου

και ακτίνας R=1.

Οι εφαπτόμενες του

κύκλου στα σημεία A, B, C

τέμνουν τις μεσοκάθετες των BC, CA, AB

στα

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

$\displaystyle O{H^3} + 3HA \cdot HB \cdot HC + 1 \ge \frac{4}{{OK \cdot OL \cdot OM}}$

#2

Για το γινόμενο

cos(A-B)coc(B-C)cos(C-A)

γενικά, γνωρίζουμε κάτι;

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 05, 2021 6:34 pm
Μόλις μου την έστειλαν και τη γράφω. Δεν την έχω κοιτάξει ακόμα. (Το μόνο που έχω ελέγξει είναι την ισότητα για το ισόπλευρο). Ορθόκεντρο, περίκεντρο και βλέπουμε....png
Τρίγωνο με ορθόκεντρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου και ακτίνας Οι εφαπτόμενες του

κύκλου στα σημεία τέμνουν τις μεσοκάθετες των στα αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

$\displaystyle O{H^3} + 3HA \cdot HB \cdot HC + 1 \ge \frac{4}{{OK \cdot OL \cdot OM}}$

Γεια σου Κώστα!

Σ' ευχαριστώ που ασχολήθηκες με το θέμα. Δεν σου κρύβω ότι από την αρχή ήσουν ο στόχος μου. Έχω καταλάβει

πως σου αρέσει να ασχολείσαι με τα "περίεργα" θέματα . Μήπως κατέληξες στην παρακάτω αποδεικτέα σχέση;

$(1-8\cos{A}\cos{B}\cos{C})^{\frac{3}{2}}+24\cos{A}\cos{B}\cos{C}+1\geq{4 \cos{(B-C)} \cos{(C-A)} \cos{(A-B)}}$

ΥΓ. Έλεγξα μόνο το οξυγώνιο τρίγωνο και είδα ότι για R=1,

ισχύουν:

$O{H^2} = 9 - ({a^2} + {b^2} + {c^2}),HA \cdot HB \cdot HC = 8\cos A\cos B\cos C$

και $\dfrac{1}{{OK \cdot OL \cdot OM}} = \cos (B - C)\cos (A - C)\cos (A - B).$

#4

Γιώργο δεν παίζεσαι!!

Λοιπόν έφτασα εκεί που λες! Δούλεψα αυτό το γινόμενο. Έβγαλα διαφορά ωραία και όμορφα αποτελέσματα! (Πολύ χαρτί!!) Αλλά δεν βλέπω με αυτά, προς το παρόν, λύση.

#5

Κώστα γεια σου και πάλι!

Για την ιστορία την άσκηση μου την έστειλε με πμ στο AOPS ένας Ρουμάνος μαθητής. Τον καθοδήγησα όσο μπορούσα, αλλά

απέφυγα να κάνω όλες αυτές τις πράξεις, πιστεύοντας ότι δεν θα το έκανε ούτε κι εκείνος. Η όλη διαδικασία είχε ως εξής:

Για $\displaystyle \cos A\cos B\cos C = X,\cos (A - B)\cos (B - C)\cos (C - A) = Y,$ αρκεί να δειχτεί ότι:

$\displaystyle {\left( {1 - 8X} \right)^3} - {\left( {4Y - 24X - 1} \right)^2} \ge 0$

Θέτοντας $\displaystyle \tan \frac{A}{2} = x,\tan \frac{B}{2} = y,\tan \frac{C}{2} = z,$ υπολογίζοντας τα ημίτονα και συνημίτονα των γωνιών του

τριγώνου συναρτήσει των x, y, z

και αντικαθιστώντας στην αποδεικτέα σχέση, θα έπρεπε να έχουμε αποτέλεσμα.

Δηλαδή, πιάσ' τ' αυγό και κούρεφτο!

Τελικά ο μαθητής αποδείχτηκε πολύ πιο τολμηρός και πεισματάρης

απ’ ότι περίμενα και το απέδειξε. Μου έστειλε το

αποτέλεσμα. Το πρώτο μέλος της αποδεικτέας σχέσης γράφεται:

$\displaystyle \frac{{1024{{(x - y)}^2}{{(y - z)}^2}{{(x - z)}^2}{{(1 + xy)}^2}{{(1 + yz)}^2}{{(1 + xz)}^2}}}{{{{(x + y)}^2}{{(y + z)}^2}{{(x + z)}^2}}} \ge 0$

Δεν μπήκα καν στον κόπο να το ελέγξω! Απλώς αρκέστηκα στο λόγο του

Ορθόκεντρο, περίκεντρο και βλέπουμε...

Ορθόκεντρο, περίκεντρο και βλέπουμε...

Re: Ορθόκεντρο, περίκεντρο και βλέπουμε...

Re: Ορθόκεντρο, περίκεντρο και βλέπουμε...

Re: Ορθόκεντρο, περίκεντρο και βλέπουμε...

Re: Ορθόκεντρο, περίκεντρο και βλέπουμε...

Μέλη σε σύνδεση