Υπάρχει περίπτωση ;

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12328
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Υπάρχει περίπτωση ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Φεβ 14, 2021 9:35 pm

Υπάρχει περίπτωση ;.png
Υπάρχει περίπτωση ;.png (11.99 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές
SA , ST , DB , εφάπτονται στον κύκλο .Υπάρχει περίπτωση να επιτύχουμε την ισότητα των πράσινων γωνιών του σχήματος ;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13158
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Υπάρχει περίπτωση ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 14, 2021 10:16 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Φεβ 14, 2021 9:35 pm
Υπάρχει περίπτωση ;.pngSA , ST , DB , εφάπτονται στον κύκλο .Υπάρχει περίπτωση να επιτύχουμε την ισότητα των πράσινων γωνιών του σχήματος ;
Υπάρχει.

Όταν στείλουμε το S στο άπειρο αριστερά, έχουμε \angle TSA \to 0. Σε αυτή την περίπτωση το T τείνει στον βόρειο πόλο N του κύκλου, οπότε \angle BDT \to \angle BDN = \angle DNA = \arctan \frac {1}{2} >0 . Έτσι έχουμε περιπτώσεις με \angle TSA < \angle BDT.

Αν αντιθέτως στείλουμε το S στο D, τότε T\to B και άρα \angle TSA\to \angle BDA = 90^o. Επίσης \angle BDT \to 0. Άρα έχουμε περιπτώσεις με \angle TSA > \angle BDT.

Επειδή τα μεγέθη μεταβάλλονται κατά συνεχή τρόπο, κάπου θα έχουμε ισότητα.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10181
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Υπάρχει περίπτωση ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Φεβ 15, 2021 6:54 pm

Υπάρχει...png
Υπάρχει...png (19.49 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
Υπάρχει και υπολογίζεται και κατασκευάζεται: \boxed{\tan \theta  = \frac{{\sqrt {22 + 10\sqrt 5 } \left( {\sqrt 5  + 3} \right) - 8\left( {\sqrt 5  + 2} \right)}}{{2\left( {\sqrt {22 + 10\sqrt 5 }  - 3 - \sqrt 5 } \right)}}}


Μόλις βρω χρόνο, θα γράψω όλη τη λύση.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10181
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Υπάρχει περίπτωση ;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 16, 2021 12:21 pm

Έστω κύκλος (O, r) και τα εφαπτόμενα τμήματα SA=ST=y. Είναι DB=DA=r και \displaystyle T\widehat DB = A\widehat ST = \theta.

Η DB τέμνει την ST στο N, όπου θέτω BN=NT=x. Η TO τέμνει την SA στο P. Αρκεί να υπολογίσω το x.
Υπάρχει.β.png
Υπάρχει.β.png (19.96 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές
Με Π.Θ στο DNS έχω: \displaystyle (y - x{)^2} = {(y - r)^2} + {(x + r)^2} \Leftrightarrow \boxed{y = \frac{{r(x + r)}}{{r - x}}} (1)

Από τα όμοια τρίγωνα STP,NTP και SND, NTP παίρνω: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\dfrac{x}{{TP}} = \dfrac{{TP}}{y}\\ 
\\ 
\dfrac{{x + r}}{{y - r}} = \dfrac{x}{{TP}} 
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{x + r}}{{y - r}} = \sqrt {\frac{x}{y}}

απ' όπου χρησιμοποιώντας την (1) μετά από πράξεις καταλήγω στην \displaystyle {x^4} + 6r{x^3} - 2{r^3}x - {r^4} = 0

και παίρνω τη δεκτή ρίζα \boxed{x = \frac{r}{2}\left( {\sqrt {22 + 10\sqrt 5 }  - 3 - \sqrt 5 } \right)} Το τμήμα x είναι κατασκευάσιμο, άρα

κατασκευάζεται και η γωνία \theta της οποίας η εφαπτομένη δίνεται από τον τύπο της προηγούμενής μου ανάρτησης.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1374
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Υπάρχει περίπτωση ;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Φεβ 19, 2021 1:00 am

Καλημέρα! Είδα την \sqrt{5} και ..μπήκα, αφού πίσω της .. :) ..κρύβεται ο χρυσός αριθμός \Phi.
george visvikis έγραψε:
Τρί Φεβ 16, 2021 12:21 pm

Έστω κύκλος (O, r) και τα εφαπτόμενα τμήματα SA=ST=y. Είναι DB=DA=r και \displaystyle T\widehat DB = A\widehat ST = \theta.

Η DB τέμνει την ST στο N, όπου θέτω BN=NT=x. Η TO τέμνει την SA στο P. Αρκεί να υπολογίσω το x.
Με Π.Θ στο DNS έχω: \displaystyle (y - x{)^2} = {(y - r)^2} + {(x + r)^2} \Leftrightarrow \boxed{y = \frac{{r(x + r)}}{{r - x}}} (1)

Από τα όμοια τρίγωνα STP,NTP και SND, NTP παίρνω: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\dfrac{x}{{TP}} = \dfrac{{TP}}{y}\\ 
\\ 
\dfrac{{x + r}}{{y - r}} = \dfrac{x}{{TP}} 
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{x + r}}{{y - r}} = \sqrt {\frac{x}{y}}

απ' όπου χρησιμοποιώντας την (1) μετά από πράξεις καταλήγω στην \displaystyle {x^4} + 6r{x^3} - 2{r^3}x - {r^4} = 0

και παίρνω τη δεκτή ρίζα \boxed{x = \frac{r}{2}\left( {\sqrt {22 + 10\sqrt 5 }  - 3 - \sqrt 5 } \right)} Το τμήμα x είναι κατασκευάσιμο, άρα

κατασκευάζεται και η γωνία \theta της οποίας η εφαπτομένη δίνεται από τον τύπο της προηγούμενής μου ανάρτησης.
Μια προσπάθεια για την κατασκευή του x , όπως το υπολόγισε ο Γιώργος όταν δίνεται το r

Η σχέση γράφεται και ως εξής: x=\Phi ^{2}\sqrt{\Phi }r-\Phi ^{2}r. Θέτω \Phi ^{2}\sqrt{\Phi }r=a και \Phi ^{2}r=b οπότε a=b\sqrt{\Phi } και x=a-b.
Υπάρχει...κατασκευή!.png
Υπάρχει...κατασκευή!.png (119.49 KiB) Προβλήθηκε 60 φορές
Στο σχήμα φαίνονται οι ορθές γωνίες και έχουμε AE=AI=1 , AB=IK= \Phi,  EH=r...LP=MN=HQ

ενώ BQ \parallel ZH και LN \parallel AK. Παίρνουμε \dfrac{HQ}{r}=\dfrac{BZ}{ZE}=\Phi ^{2} \Rightarrow HQ=\Phi ^{2}r=b .

Ακόμη \dfrac{MK^{2}}{MA^{2}}=\Phi \Rightarrow \dfrac{ML}{MN}=\dfrac{MK}{MA}=\sqrt{\Phi } άρα \Rightarrow ML=\sqrt{\Phi }MN=b\sqrt{\Phi} =a και MP=ML-LP=a-b.

Τελικά MP=a-b συνεπώς το x=MP είναι το ζητούμενο.

Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης