Μέγιστη περίμετρος

KARKAR · #1

: Μέγιστη περίμετρος.png (8.29 KiB) Προβλήθηκε 1157 φορές

Θεωρώ ότι είναι απίθανο να μην έχει ξανασυζητηθεί , παρά ταύτα το θέτω : Στο εσωτερικό

τριγώνου ABC

, υπάρχει σημείο

, τέτοιο ώστε : OA=4 , OB=2 , OC=3

.

Να βρεθεί η μέγιστη περίμετρος του τριγώνου , με οποιονδήποτε τρόπο .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 2:54 pm
Μέγιστη περίμετρος.pngΘεωρώ ότι είναι απίθανο να μην έχει ξανασυζητηθεί , παρά ταύτα το θέτω : Στο εσωτερικό

τριγώνου , υπάρχει σημείο , τέτοιο ώστε : .

Να βρεθεί η μέγιστη περίμετρος του τριγώνου , με οποιονδήποτε τρόπο .

: Μεγ.Περ..png (11.53 KiB) Προβλήθηκε 1132 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 7:13 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 2:54 pm
Μέγιστη περίμετρος.pngΘεωρώ ότι είναι απίθανο να μην έχει ξανασυζητηθεί , παρά ταύτα το θέτω : Στο εσωτερικό

τριγώνου , υπάρχει σημείο , τέτοιο ώστε : .

Να βρεθεί η μέγιστη περίμετρος του τριγώνου , με οποιονδήποτε τρόπο .

Μεγ.Περ..png

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Εικάζω ότι η μέγιστη περίμετρος επιτυγχάνεται όταν το είναι έγκεντρο του τριγώνου. Σε αυτή την περίπτωση η ακτίνα

του εγγεγραμμένου κύκλου δίνεται από την εξίσωση $\displaystyle {r^3} + 61{r^2} - 144 = 0$ που είναι $\displaystyle r \simeq 1,36424$ και η μέγιστη

περίμετρος είναι $\displaystyle {P_{\max }} = 2\left( {\sqrt {4 - {r^2}} + \sqrt {9 - {r^2}} + \sqrt {16 - {r^2}} } \right) \simeq 15,78902$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

Γενικότερα, δοθέντων των |SA|

,

, η περίμετρος του ABC

μεγιστοποιείται ακριβώς όταν

$\dfrac{|SB|\cdot sin\widehat{BSC}}{|BC|}=\dfrac{|SA|\cdot sin\widehat{CSA}}{|CA|},$

$\dfrac{|SC|\cdot sin\widehat{CSA}}{|CA|}=\dfrac{|SB|\cdot sin\widehat{ASB}}{|AB|},$

$\dfrac{|SA|\cdot sin\widehat{ASB}}{|AB|}=\dfrac{|SC|\cdot sin\widehat{BSC}}{|BC|}.$

[Αυτό προκύπτει με χρήση Λογισμού δύο μεταβλητών, θα παραθέσω λεπτομέρειες αργότερα, ειδικά αν δεν παρουσιαστεί κάποια γεωμετρική λύση.]

Η παραπάνω τριάδα σχέσεων 'οφείλει' να είναι ισοδύναμη προς την ταύτιση του έγκεντρου του ABC

με το

, ας δούμε αργότερα γιατί και πως...

#5

Ένας άλλος τρόπος να δούμε αυτήν την υπέροχη εικασία: η κόκκινη περίμετρος είναι μικρότερη από την πράσινη

: εγκεντροπεριμετρικώς.png (10.16 KiB) Προβλήθηκε 1025 φορές

#6

gbaloglou έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 27, 2020 11:53 am
Γενικότερα, δοθέντων των , , , η περίμετρος του μεγιστοποιείται ακριβώς όταν

$\dfrac{|SB|\cdot sin\widehat{BSC}}{|BC|}=\dfrac{|SA|\cdot sin\widehat{CSA}}{|CA|},$

$\dfrac{|SC|\cdot sin\widehat{CSA}}{|CA|}=\dfrac{|SB|\cdot sin\widehat{ASB}}{|AB|},$

$\dfrac{|SA|\cdot sin\widehat{ASB}}{|AB|}=\dfrac{|SC|\cdot sin\widehat{BSC}}{|BC|}.$

[Αυτό προκύπτει με χρήση Λογισμού δύο μεταβλητών, θα παραθέσω λεπτομέρειες αργότερα, ειδικά αν δεν παρουσιαστεί κάποια γεωμετρική λύση.]

Η παραπάνω τριάδα σχέσεων 'οφείλει' να είναι ισοδύναμη προς την ταύτιση του έγκεντρου του με το , ας δούμε αργότερα γιατί και πως...

Πράγματι, το μεν ευθύ είναι σχεδόν άμεσο από τις $\widehat {SAB}=\widehat {SAC}$ , $\widehat {SBA}=\widehat {SBC}$ , $\widehat {SCB}=\widehat {SCA}$ και $\widehat {ASB}=90^0+\gamma /2$ , $\widehat {BSC}=90^0+\alpha /2$ , $\widehat {CSA}=90^0+\beta /2$ (με εφαρμογή του Νόμου Ημιτόνων), το δε αντίστροφο προκύπτει από εφαρμογές του Νόμου Ημιτόνων στα τρίγωνα ASB

,

ανά δύο, πχ από τις $sin\widehat {SBC}=\dfrac{|SC|}{|BC|}sin\widehat {BSC}$ και $sin\widehat {SBA}=\dfrac{|SA|}{|AB|}sin\widehat {ASB}$ προκύπτει η $sin\widehat {SBC}=sin\widehat {SBA}$ λόγω της $\dfrac{|SC|}{|BC|}sin\widehat {BSC}=\dfrac{|SA|}{|AB|}sin\widehat {ASB}$ (τρίτη σχέση παραπάνω).

Ας δούμε τώρα και πως προκύπτουν -- μέσω Λογισμού δύο μεταβλητών -- οι παραπάνω τρεις σχέσεις, η $\dfrac{|SB|\cdot sin\widehat{BSC}}{|BC|}=\dfrac{|SA|\cdot sin\widehat{CSA}}{|CA|}$ για παράδειγμα. Θέτοντας $\widehat{BSC}=x$ και $\widehat{CSA}=y$ , εκφράζουμε -- με χρήση του Νόμου Συνημιτόνων -- την περίμετρο του ABC

ως

$f(x,y)=\sqrt{q^2+r^2-2qrcosx}+\sqrt{p^2+r^2-2prcosy}+\sqrt{p^2+q^2-2pqcos(x+y)},$

όπου

,

τα δοθέντα μήκη |SA|

,

, αντίστοιχα. Αναζητώντας τοπικό ακρότατο/μέγιστο μηδενίζουμε τις δύο μερικές παραγώγους:

$\dfrac{qrsinx}{\sqrt{q^2+r^2-2qrcosx}}+\dfrac{pqsin(x+y)}{\sqrt{p^2+q^2-2pqcos(x+y)}}=0,$

$\dfrac{prsiny}{\sqrt{p^2+r^2-2prcosy}}+\dfrac{pqsin(x+y)}{\sqrt{p^2+q^2-2pqcos(x+y)}}=0.$

Από τις δύο αυτές ισότητες προκύπτει άμεσα η

$\dfrac{qsinx}{\sqrt{q^2+r^2-2qrcosx}}=\dfrac{psiny}{\sqrt{p^2+r^2-2prcosy}},$

δηλαδή η ζητούμενη $\dfrac{|SB|\cdot sin\widehat{BSC}}{|BC|}=\dfrac{|SA|\cdot sin\widehat{CSA}}{|CA|}$ .

[Για να είμαστε βέβαια 100% εντάξει, και σίγουροι ότι το παραπάνω σημείο όντως δίνει τοπικό μέγιστο και όχι ελάχιστο κλπ ... θα έπρεπε να ελέγξουμε και την σχετική ορίζουσα κλπ -- θα το κάνω αργότερα και αν τυχόν εμφανισθούν δυσκολίες θα ενημερώσω, ως τότε αναμένουμε και πιο γεωμετρικές λύσεις (αν είναι δυνατόν). Ας πω επίσης ότι για τις άλλες δύο 'ισότητες έγκεντρου' ... απλά αλλάζουμε τις δύο μεταβλητές (και γωνίες).]

KARKAR · #7

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 7:13 pm

Εικάζω ότι η μέγιστη περίμετρος επιτυγχάνεται όταν το είναι έγκεντρο του τριγώνου. ]

Δείτε μια παρόμοια συζήτηση - αλλά για το μέγιστο εμβαδόν - εδώ .

Στην μεγιστοποίηση αυτή , μάλλον χωρίς αμφιβολία , το

είναι το ορθόκεντρο !

Γιώργο Μπαλόγλου , ευχαριστώ για τις επίπονες αποστολές που αναλαμβάνεις

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 28, 2020 8:42 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 7:13 pm

Εικάζω ότι η μέγιστη περίμετρος επιτυγχάνεται όταν το είναι έγκεντρο του τριγώνου. ]
Δείτε μια παρόμοια συζήτηση - αλλά για το μέγιστο εμβαδόν - εδώ .

Στην μεγιστοποίηση αυτή , μάλλον χωρίς αμφιβολία , το είναι το ορθόκεντρο !

Γιώργο Μπαλόγλου , ευχαριστώ για τις επίπονες αποστολές που αναλαμβάνεις

Θανάση σ' ευχαριστούμε και εμείς για τις επίμονες αποστολές σου

Το ορθόκεντρο που αναφέρεις παραπάνω θα το δω αργότερα, για το έγκεντρο έχω να πω τα εξής επιπλέον:

Η απόδειξη ότι το έγκεντρο δίνει τοπικό, και τελικά ολικό, μέγιστο είναι όντως επίπονη, ιδίως αν επιχειρηθεί μέσω του υπολογισμού των μερικών παραγώγων δευτέρας τάξεως*. Μια ιδέα είναι να πάμε απευθείας για τοπικό μέγιστο παρατηρώντας ότι υπάρχει ακριβώς ένα τοπικό ακρότατο (έγκεντρο) ... όπου η τιμή της συνάρτησης ( $2(\sqrt{p^2-R^2}+\sqrt{q^2-R^2}+\sqrt{r^2-R^2})$ , όπου

η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου) υπερβαίνει τις τιμές της στο σύνορο που ορίζουν οι ευθείες x=0

,

, $x+y=\pi$ ( 2(p+q)

,

, υπάρχουν αρκετές περιπτώσεις ευθειοποίησης του τριγώνου): αρκεί δηλαδή να αποδειχθεί η ανισότητα

$\sqrt{p^2-R^2}+\sqrt{q^2-R^2}+\sqrt{r^2-R^2}>max(p+q, q+r, r+p).$

Θέλουμε δηλαδή να αποδείξουμε ότι σε τυχόν τρίγωνο ABC

με έγκεντρο

ισχύει η ανισότητα

|AB|+|BC|+|CA|>max(|SA|+|SB|, |SB|+|SC|, |SC|+|SA|).

Η ανισότητα αυτή ισχύει για τυχόν σημείο

εντός τυχόντος τριγώνου ABC

, συγκεκριμένα στην μορφή |SA|+|SB|<|CA|+|CB|

,

(εσωτερική τεθλασμένη μικρότερη εξωτερικής τεθλασμένης).

*Αν επιμένουμε στην χρήση μερικών παραγώγων για τον χαρακτηρισμό του έγκεντρου ως τοπικού μεγίστου -- που θα πρέπει στην συνέχεια να επεκταθεί σε ολικό ακριβώς όπως παραπάνω -- καλό είναι να παρατηρήσουμε ότι οι μερικές παράγωγοι δευτέρας τάξεως γράφονται στην μορφή $f_{xx}=U+W$ , $f_{yy}=V+W$ , $f_{xy}=W$ , με

,

μονίμως αρνητικά, οπότε οι ικανές για τοπικό μέγιστο συνθήκες $f_{xx}<0$ , $f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2>0$ είναι άμεσες.

#9

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 7:13 pm
Εικάζω ότι η μέγιστη περίμετρος επιτυγχάνεται όταν το είναι έγκεντρο του τριγώνου.

Αρκεί να δείξουμε το εξής:

Έστω σταθερά σημεία S,B,C

και έστω σημείo

τέτοιο ώστε SA = d

. Αν $AB+AC \geqslant A'B+A'C$ για κάθε

το οποίο ανήκει στον κύκλο $\omega$ με κέντρο το

και ακτίνα

, τότε το

ανήκει στο διχοτόμο της γωνιάς $\angle BAC$ .

Φέρνουμε την έλλειψη $\varepsilon$ με εστίες τα B,C

που περνά από το

. Πρέπει οι $\varepsilon,\omega$ να εφάπτονται στο

αφού σε διαφορετική περίπτωση μπορώ να βρω

στην έλλειψη με A'B+A'C > AB+AC

. Έστω $\ell$ η εφαπτομένη της $\varepsilon$ στο

. Επειδή

οι εστίες της έλλειψης, από την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης η κάθετη στην $\ell$ που περνά από το

διχοτομεί τη γωνία $\angle BAC$ . Όμως η $\ell$ εφάπτεται και στον $\omega$ στο σημείο

. Επομένως η κάθετη περνά και από το

.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Προσθήκη αργότερα: Με παρόμοια λογική το εμβαδόν μεγιστοποιείται όταν το

είναι ορθόκεντρο του τριγώνου. Η κύρια διαφορά είναι ότι αντί να φέρουμε έλλειψη με εστίες τα B,C

φέρνουμε παράλληλη προς την

η οποία περνά από το

.

#10

Άριστη η λύση του Δημήτρη, και πολύ ενδιαφέρον το θέμα γενικώς!

Θα μπορούσαμε να αναρωτηθούμε: επεκτείνεται το θεώρημα σε μεγαλύτερες διαστάσεις; Μεγιστοποιείται για παράδειγμα η παράπλευρη επιφάνεια τετραέδρου ABCD

με δεδομένα τα |SA|

,

όταν το

είναι το έγκεντρο του ABCD

;

Μέγιστη περίμετρος

Μέγιστη περίμετρος

Re: Μέγιστη περίμετρος

Re: Μέγιστη περίμετρος

Re: Μέγιστη περίμετρος

Re: Μέγιστη περίμετρος

Re: Μέγιστη περίμετρος

Re: Μέγιστη περίμετρος

Re: Μέγιστη περίμετρος

Re: Μέγιστη περίμετρος

Re: Μέγιστη περίμετρος

Μέλη σε σύνδεση