Μεταλλικό θερμοκήπιο

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7263
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Μεταλλικό θερμοκήπιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιούλ 30, 2020 2:42 pm

Μεταλλικό θερμοκήπιο.png
Μεταλλικό θερμοκήπιο.png (9.63 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές

Γνωρίζουμε το μήκος l κυκλικού τόξου και την απόσταση d των μέσων N,M του τόξου \tau o\xi AB και της αντίστοιχής χορδής , AB.

Ζητάμε να υπολογιστούν , το μήκος της ακτίνας R του κυκλικού τόξου και το μήκος της χορδής AB.

Εφαρμογή: l=20 και d=2.


Για καθηγητές και μηχανικούς .

Υπάρχει προσεγγιστική λύση, σε περίπτωση που δίδονται αριθμητικές τιμές .



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 688
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μεταλλικό θερμοκήπιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Ιούλ 31, 2020 1:05 am

Doloros έγραψε:
Πέμ Ιούλ 30, 2020 2:42 pm
Μεταλλικό θερμοκήπιο.png


Γνωρίζουμε το μήκος l κυκλικού τόξου και την απόσταση d των μέσων N,M του τόξου \tau o\xi AB και της αντίστοιχής χορδής , AB.

Ζητάμε να υπολογιστούν , το μήκος της ακτίνας R του κυκλικού τόξου και το μήκος της χορδής AB.

Εφαρμογή: l=20 και d=2.


Για καθηγητές και μηχανικούς .

Υπάρχει προσεγγιστική λύση, σε περίπτωση που δίδονται αριθμητικές τιμές .
Θα υποθέσω, χωρίς βλάβη, ότι l\leq R \pi . Διαφορετικά δουλεύουμε στο έλασσον τόξο και στη θέση

του l θα έχουμε το 2\pi R-l.

Για l= R \pi\Leftrightarrow R=l/\pi, οπότε και d=l/\pi , είναι AB=2l/\pi.

Για l<R\pi θα δουλέψουμε στο μισό τόξο NB=l/2. Έστω O το κέντρο του κύκλου.

Με αρχή το O άξονα τεταγμένων την ευθεία MN και άξονα τετμημένων την κάθετη σε αυτή

στο O θα έχουμε ότι:

Η εξίσωση του τεταρτοκυκλίου θα είναι η f(x)=\sqrt{R^2-x^2 }. Αν το B έχει τετμημένη k

τότε

f(0)-f(k)=d\Leftrightarrow  R-\sqrt{R^2-k^2}=d\quad (1) και \displaystyle \int_{0}^{k}\sqrt{1+\left (f'(x) \right )^2}dx=l/2.\quad (2)

H (2) έχει μοναδική λύση k γιατί η συνάρτηση μήκος τόξου είναι γνησίως αύξουσα, συνεχής

και το l/2<R\pi/2 περιέχεται μεταξύ των τιμών της στα άκρα 0,R.

Με την αντικατάσταση x= R\sin x βρίσκουμε ότι

\displaystyle \int_{0}^{k}\sqrt{1+\left (f'(x) \right )^2}dx=l/2 \Leftrightarrow R\arcsin \dfrac{k}{R}=l/2 .

Από την τελευταία έχουμε τελικά ότι k=R\sin\dfrac{l}{2R}.\quad (3)

Οι (1),(3) μας δίνουν ένα σύστημα το οποία πρέπει να λύσουμε για δεδομένα l,d.

Αντικαθιστώντας την (3) στην (1) και για l=20,d=2 παίρνουμε

R\left (1-\cos\dfrac{10}{R} \right )=2. Παίρνοντας τους δύο πρώτους όρους από το Taylor της

\cos x περί το x=0 η τελευταία δίνει

R\left ( 1-\left ( 1-\dfrac{50}{R^2} \right )\right )=2\Leftrightarrow R=25 (κατά προσέγγιση).

Αν χρησιμοποιήσουμε αυτή την προσέγγιση για το R βρίσκουμε, από την (3) ότι

k=25\sin \dfrac{2}{5} και ξαναπαίρνοντας Taylor αλλά για την \sin x αυτή τη φορά

βρίσκουμε τελικά

k \approx 25 \left ( \dfrac{2}{5}-\dfrac{(2/5)^3}{6} \right )=9.7\bar{3} \Rightarrow AB= 2k\approx 19.4\bar{6}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9458
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεταλλικό θερμοκήπιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιούλ 31, 2020 8:25 am

Doloros έγραψε:
Πέμ Ιούλ 30, 2020 2:42 pm
Μεταλλικό θερμοκήπιο.png


Γνωρίζουμε το μήκος l κυκλικού τόξου και την απόσταση d των μέσων N,M του τόξου \tau o\xi AB και της αντίστοιχής χορδής , AB.

Ζητάμε να υπολογιστούν , το μήκος της ακτίνας R του κυκλικού τόξου και το μήκος της χορδής AB.

Εφαρμογή: l=20 και d=2.


Για καθηγητές και μηχανικούς .

Υπάρχει προσεγγιστική λύση, σε περίπτωση που δίδονται αριθμητικές τιμές .

Έστω N\widehat OA = a \displaystyle {\rm{rad}}, \displaystyle 0<a < \frac{\pi }{2}.
θερμοκήπιο.png
θερμοκήπιο.png (16.05 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές
\displaystyle {x^2} = {R^2} - {(R - d)^2} \Leftrightarrow \boxed{x=\sqrt{2Rd-d^2}} και \boxed{l=2aR} , \boxed{\cos a = \frac{{R - d}}{R}} Από τις δύο τελευταίες

σχέσεις καταλήγω στην εξίσωση \boxed{\cos a = \frac{{l - 2ad}}{l}} και για την εφαρμογή, \displaystyle \cos a = 1 - \frac{a}{5} απ' όπου με λογισμικό

παίρνω τη δεκτή ρίζα \boxed{a \simeq 0,405527} και εύκολα τώρα \boxed{R \simeq 24,65927} και \boxed{AB=2x \simeq 19,456318}



ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η εξίσωση \displaystyle \cos a = \frac{{l - 2ad}}{l} μπορεί να γραφεί ισοδύναμα \boxed{{\sin ^2}t = kt} όπου \displaystyle t = \frac{a}{2},k = \frac{{2d}}{l}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μεταλλικό θερμοκήπιο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Αύγ 03, 2020 2:20 pm

Σχετικό θέμα εδώ .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης