Δωδεκαεδρικό δράμα

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2775
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Δωδεκαεδρικό δράμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Μάιος 17, 2020 7:44 pm

Σε πρόσφατη διαδικτυακή συζήτηση στις "Γεωμετρικές Διαδρομές" του Σωτήρη Γκουντουβά (ΦΒ) τέθηκε το θέμα του λόγου υψών των δύο πενταγωνικών πυραμίδων που ορίζονται φυσικά από το κανονικό δωδεκάεδρο: στο συνημμένο εικονίζεται συνοπτικά η λύση μου, η οποία βεβαίως υπολογίζει το ύψος του δωδεκαέδρου h και την δίεδρο γωνία του \theta. Ο υπολογισμός μου χρησιμοποίησε Νόμο Συνημιτόνων (δις) και γνωστές προσεγγίσεις για το απόστημα d και την ακτίνα περίκυκλου r κανονικού πενταγώνου, καταλήγοντας σε λόγο υψών περίπου 0,37 και δίεδρο γωνία \theta \approx 117,4^0. Όπως δείχνω στο συνημμένο, σημαντικό ρόλο παίζει και η γωνία \phi \approx 121,3^0, από την οποία και υπολογίζω την \theta = 2\pi -2\phi: το συνημίτονο αυτής της γωνίας προκύπτει ως λύση δευτεροβάθμιας εξίσωσης, επακριβώς εάν χρησιμοποιηθούν οι ακριβείς λόγοι d/s και r/s, όπου s η ακμή του δωδεκαέδρου (και πλευρά της πενταγωνικής έδρας του)^ πράγματι, χρησιμοποιώντας τις ακριβείς τιμές και επιλύοντας την δευτεροβάθμια του συνημμένου καταλήγω στην ακριβή τιμή

\phi = arccos\displaystyle \dfrac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}-\sqrt{9-2\sqrt{5}+4\sqrt{6-2\sqrt{5}}}}{2\left(1+\sqrt{6-2\sqrt{5}}\right)},

η οποία δίνει τις ακριβέστερες προσεγγίσεις \phi \approx 121,7175^0 και συνεπώς \theta \approx 116,565^0 (και λόγο υψών πυραμίδων περίπου 0,382 αντί 0,37).

Φαντασθείτε τώρα την έκπληξη μου όταν είδα εδώ την ακριβή τιμή \theta = \pi - arctan2 (και συνεπαγόμενη ακριβή τιμή \phi = \dfrac{\pi +arctan2}{2}): δεν βλέπω προς το παρόν κάποιον δρόμο που να οδηγεί σ' αυτές τις τιμές!

dodecahedron-height.png
dodecahedron-height.png (74.81 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2775
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Δωδεκαεδρικό δράμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Μάιος 17, 2020 11:45 pm

gbaloglou έγραψε:
Κυρ Μάιος 17, 2020 7:44 pm
Φαντασθείτε τώρα την έκπληξη μου όταν είδα εδώ την ακριβή τιμή \theta = \pi - arctan2 (και συνεπαγόμενη ακριβή τιμή \phi = \dfrac{\pi +arctan2}{2}): δεν βλέπω προς το παρόν κάποιον δρόμο που να οδηγεί σ' αυτές τις τιμές!
Αν θέλουμε τώρα απλώς να επιβεβαιώσουμε την παραπάνω 'κομψή' έκφραση για την γωνία \phi -- να την επιβεβαιώσουμε, όχι να φτάσουμε σ'αυτήν με κάποιον 'φυσιολογικό' τρόπο -- μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε, για οξεία γωνία x, τον τριγωνομετρικό τύπο

sin\dfrac{x}{2}=\dfrac{\dfrac{tanx}{\sqrt{1+tan^2x}}}{\sqrt{\dfrac{2(\sqrt{1+tan^2x}+1)}{\sqrt{1+tan^2x}}}},

ο οποίος μάς δίνει, για x = arctan2,

cos\left(\dfrac{\pi +arctan2)}{2}\right)=-sin\left(\dfrac{arctan2}{2}\right)=-\dfrac{2}{\sqrt[4]{5}\sqrt{2(\sqrt{5}+1)}},

οπότε 'αρκεί' να επαληθευθεί η αλγεβρική ισότητα

-\dfrac{2}{\sqrt[4]{5}\sqrt{2(\sqrt{5}+1)}}=\dfrac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}-\sqrt{9-2\sqrt{5}+4\sqrt{6-2\sqrt{5}}}}{2\left(1+\sqrt{6-2\sqrt{5}}\right)} :twisted:


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2775
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Δωδεκαεδρικό δράμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Μάιος 19, 2020 12:10 am

Τετάρτη 20-5-2020 8 πμ: Διέγραψα την 'φλύαρη' δημοσίευση μου -- ίχνη της επιζούν στην επόμενη, που την υπερκαλύπτει -- επειδή παρουσίαζε μία αχρείαστα μπλεγμένη λύση που τίποτα δεν προσφέρει.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2775
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Δωδεκαεδρικό δράμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Μάιος 19, 2020 1:36 pm

gbaloglou έγραψε:
Τρί Μάιος 19, 2020 12:10 am
Λύση στο δράμα ... ως από μηχανής θεός ... δίνει ο Ευκλείδης με την γνωστή κατασκευή του δωδεκαέδρου από τον κύβο: υψώνουμε σε κάθε έδρα ενός μοναδιαίου κύβου 'αντίσκηνα' συμμετρικά και ίσα μεταξύ τους (με ύψος οροφής h και μήκος οροφής d), 'ορθογώνια' πάντοτε προς το κάθε γειτονικό τους αντίσκηνο (βλέπε συνημμένο): από συνευθειακότητα και \eta +\gamma = \pi /2 προκύπτει η  tan\eta \cdot tan\gamma =1 και η 4h^2=1-d, ενώ η ισότητα ακμών δίνει h^2+\left(\dfrac{1-d}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=d^2, οπότε καταλήγουμε στην d^2+d-1=0 (που προσδιορίζει και το μήκος της ακμής του δωδεκαέδρου ως \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}, αν και δεν θα το χρειαστούμε αυτό).
Τα παραπάνω επαρκούν για μια απλή απόδειξη της tan(\pi-\theta)=2: αναφερόμενος στο συνημμένο, παρατηρώ ότι

tan(\pi -\theta )=tan(2\eta )=\dfrac{2\cdot tan\eta }{1-(tan\eta )^2}=\dfrac{2\cdot 2h}{1-(2h)^2}=\dfrac{4h}{1-4h^2}=\dfrac{4h}{d},

οπότε αρκεί να δειχθεί η ανεξαρτήτου ενδιαφέροντος (και αναπάντεχα απλή ίσως) d=2h.

Χρησιμοποιώντας ξανά την 4h^2=1-d, αλλά και την d^2+d-1=0, καταλήγουμε στην 16h^4-12h^2+1=0, ισοδύναμη προς την (1-4h^2)^2=(2h)^2, που άμεσα δίνει d^2=(2h)^2 και d=2h.

(Εναλλακτικά 2h=\sqrt{1-d}, οπότε d=2h\leftrightarrow d=\sqrt{1-d}\leftrightarrow d^2+d-1=0.)

EUCLID-XIII.17.png
EUCLID-XIII.17.png (47.09 KiB) Προβλήθηκε 77 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2775
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Δωδεκαεδρικό δράμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Μάιος 19, 2020 10:18 pm

ΕΔΩ ένας ακόμη υπολογισμός της διέδρου γωνίας \theta ως arccos(-1/\sqrt{5}), που εύκολα βλέπουμε ότι όντως ισούται προς \pi-arctan2.

(Ο υπολογισμός βασίζεται πάντως σε έναν 'γενικό' τύπο (9.1) για δίεδρες γωνίες που δεν γνωρίζω -- προτιμώ την Ευκλείδεια οδό της προηγούμενης δημοσίευσης!)


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης