Άγνωστος γεωμετρικός τόπος;

#1

: Άγνωστος γεωμετρικός τόπος.png (18.96 KiB) Προβλήθηκε 1290 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο διαμέτρου

και

είναι

ένα τυχαίο σημείο του τόξου $\overset\frown{AC}.$ Για το σημείο

του επιπέδου γνωρίζουμε τα εξής:

Τα M, N

είναι εκατέρωθεν της BC, NM=NB

και $B\widehat AM=C\widehat AN.$

Ζητούμε τον γεωμετρικό τόπο του

(Προς το παρόν, δεν έχω λύση).

#2

Θέτοντας

,

, $A=(cos\alpha, sin\alpha)$ , $N=(cos\theta, sin\theta)$ , M=(x,y)

, λαμβάνουμε από τις ισότητες γωνιών και τμημάτων τις ισότητες

$x^2+y^2-2(cos\theta)x-2(sin\theta)y=1+2cos\theta$

και

$\displaystyle\dfrac{-(1+cos\alpha)x-(sin\alpha)y+1}{\sqrt{2+cos\alpha}\cdot\sqrt{x^2+y^2-2(cos\alpha)x-2(sin\alpha)y+1}}=\dfrac{cos\theta-(cos\alpha)cos\theta-cos\alpha-(sin\alpha)sin\theta+1}{\sqrt{2-2cos\alpha}\cdot\sqrt{2-2(cos\alpha)cos\theta-2(sin\alpha)sin\theta}}.$

Θεωρητικά τώρα -- με σταθερή την γωνία $\alpha$ και μεταβλητή την γωνία $\theta$ -- είμαστε σε θέση να βρούμε παραμετρικές εξισώσεις για τα

,

με παράμετρο $\theta$ , και επομένως να προσδιορίσουμε τον γεωμετρικό τόπο του

. Στην πράξη δεν βλέπω πως μπορεί να γίνει αυτό χωρίς την χρήση λογισμικού...

[Δευτεροβάθμιο είναι το πρόβλημα, μπορεί επομένως να υπάρχει και συνθετική λύση, αλλά δεν αναμένω κάτι τέτοιο...]

#3

Γιώργο, σ' ευχαριστώ για την ενασχόληση με το θέμα. Κάτι παρόμοιο (με Αναλυτική) αποπειράθηκα να κάνω και εγώ,

χωρίς όμως να καταλήξω κάπου. Το geogebra δίνει τη μοβ καμπύλη που φαίνεται στο σχήμα. Αρχικά, πίστεψα ότι μπορεί

να είναι τόξο κύκλου, αλλά γρήγορα το απέρριψα όταν παρατήρησα ότι η γωνία $B\widehat MS$ δεν είναι σταθερή, ενώ η χορδή

είναι. Πράγματι, το σημείο

είναι σταθερό. Αν

είναι το συμμετρικό του

ως προς

τότε το

προσδιορίζεται

ως το σημείο τομής του κύκλου (A, AB)

με τη διχοτόμο της γωνίας $B\widehat B'C.$

Άγνωστος γεωμετρικός τόπος;

Άγνωστος γεωμετρικός τόπος;

Re: Άγνωστος γεωμετρικός τόπος;

Re: Άγνωστος γεωμετρικός τόπος;

Μέλη σε σύνδεση