Χωρίς παραγώγους ΙΙ

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί a,b,x

με

Να αποδειχθεί χωρίς χρήση παραγώγων η ανισότητα:

$b x^a - a x^b \ge b-a$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Εμπνευσμένο από εδώ:
viewtopic.php?f=170&t=76721

#2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 16, 2024 4:25 pm
Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με

Να αποδειχθεί χωρίς χρήση παραγώγων η ανισότητα:

$b x^a - a x^b \ge b-a$

Θα γίνει χρήση της ανισότητας Bernoulli εδώ, πόστ #

, η οποία αποδείχθηκε χωρίς παραγώγους.

Θέτοντας $x=(1+z)^{1/b}$ όπου $z\ge -1$ , η αποδεικτέα γράφεται

$b(1+z)^{a/b} - a(1+z) \ge b-a$ , ισοδύναμα $b(1+z)^{a/b} - az \ge b$

Διαιρώντας δια

γίνεται $(1+z)^{a/b} \ge 1+ \dfrac {a}{b}$ . Αλλά αυτή είναι ακριβώς η Bernoulli, $(1+z) ^r \ge 1+rz$ , όπου $r=\dfrac {a}{b}>1$

Χωρίς παραγώγους ΙΙ

Χωρίς παραγώγους ΙΙ

Re: Χωρίς παραγώγους ΙΙ

Μέλη σε σύνδεση