Μέγιστη - Ελάχιστη τιμή σε ανοικτό διάστημα.

Συντονιστής: emouroukos

abgd
Δημοσιεύσεις: 490
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Μέγιστη - Ελάχιστη τιμή σε ανοικτό διάστημα.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Δευ Νοέμ 04, 2024 7:41 pm

Μια πρόταση για τα ακρότατα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ανοικτό διάστημα από την οποία προκύπτει μια γενίκευση του θεωρήματος Rolle.

Πρόταση.
Έστω η συνεχής συνάρτηση \displaystyle{f:(a,b)\to \mathbb{R}} με \displaystyle{a,b \in \mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}}.

Αν \displaystyle{\lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to b}{f(x)}, τότε η \displaystyle{f} έχει ένα τουλάχιστον (ολικό) ακρότατο.

Απόδειξη.

(α). Έστω \displaystyle{a,b \in \mathbb{R}} και \displaystyle{\lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to b}{f(x)=l, \ \ l \in \mathbb{R}}

Η συνάρτηση \displaystyle{s(x)=\left\{\begin{matrix} 
 f(x), \ \ x\in \left(a,b\right)  \\ 
  
l, \ \ x=a, \ \ x=b  \\ 
\end{matrix}\right.} είναι συνεχής στο \displaystyle{\left[a,b\right] και έτσι θα έχει μέγιστο και ελάχιστο.
Αν αυτά παρουσιάζονται, (και τα δύο), στα άκρα του \displaystyle{\left[a,b\right], τότε η \displaystyle{f} θα είναι σταθερή, αφού θα πρέπει η \displaystyle{f(x)=l \ \ \forall x \in (a,b)}
Αν κάποιο από αυτά παρουσιάζεται σε εσωτερικό σημείο του \displaystyle{\left[a,b\right], τότε στο σημείο αυτό η \displaystyle{f} θα έχει ακρότατο.

(β). Έστω \displaystyle{a,b \in \mathbb{R}} και \displaystyle{\lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to b}{f(x)=+\infty}
Αν \displaystyle{s(x)=\left\{\begin{matrix} 
 e^{-f(x)}, \ \ x\in \left(a,b\right)  \\ 
  
0, \ \ x=a, \ \ x=b  \\ 
\end{matrix}\right.}, με τη βοήθεια του θεωρήματος μέγιστης - ελάχιστης τιμής σε κλειστό διάστημα, προκύπτει ότι η \displaystyle{f} έχει ελάχιστο.

(γ). Έστω \displaystyle{a,b \in \mathbb{R}} και \displaystyle{\lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to b}{f(x)=-\infty}
Εφαρμόζοντας το β) για την \displaystyle{-f} προκύπτει ότι η \displaystyle{f} έχει μέγιστο.

Ανάλογα σκεπτόμενοι και στις υπόλοιπες περιπτώσεις προκύπτει εύκολα το ζητούμενο της πρότασης.

Παράδειγμα, στην περίπτωση που \displaystyle{a=-\infty \ \, b \in \mathbb{R}} και \displaystyle{\lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to b}{f(x)=-\infty}

θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{s(x)=\left\{\begin{matrix} 
 e^{f(\tan{x})}, \ \ x\in \left(-\dfrac{\pi}{2},b'\right)  \\ 
  
0, \ \ x=-\dfrac{\pi}{2}, \ \ x=b'  \\ 
\end{matrix}\right.}, με \displaystyle{b'} ο αριθμός για τον οποίο \displaystyle{\tan{b'}=b}.

Με τη βοήθεια τώρα αυτής της πρότασης και του Θεωρήματος του Fermat έχουμε το εξής:

Πόρισμα (Γενίκευση του Θεωρήματος Rolle)

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f:(a,b)\to \mathbb{R}} με \displaystyle{a,b \in \mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}}.

Αν \displaystyle{\lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to b}{f(x)}, τότε η παράγωγος της συνάρτησης \displaystyle{f} έχει μία τουλάχιστον ρίζα.

Σημείωση: Πιθανόν τα παραπάνω να υπάρχουν στην βιβλιογραφία, δεν γνωρίζω αν έχει γίνει κάποια σχετική αναφορά στο mathmatica.gr


\mathbb{K}_{ostas}\sum{}

Λέξεις Κλειδιά:
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης