Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος με την μέθοδο της αντικα

7apostolis · #1

Καλησπέρα,
μερικές σκέψεις στο θέμα που απασχόλησε το

:

Υπολογίζουμε το $\int_{0}^{1}{x}dx=\frac{1}{2}$ (εύκολα).
Αλλιώς:
Θέτω x=sint (x=ημt), t στο Δ=[0, 5π/2]. Προφανώς η συνάρτηση της αντικατάστασης δεν είναι 1-1 στο Δ.
Τότε
$\int_{0}^{1}{x}dx=\int_{0}^{\frac{5\pi }{2}}{sintcostdt}=\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{5\pi }{2}}{(sin2t)(2t)'dt}=\frac{1}{4}\int_{0}^{5\pi}{sinudu}=\frac{1}{4}[-cosu]^{5\pi}_{0}=\frac{1}{4}[-(-1)-(-1)]=\frac{1}{2}$
Το αποτέλεσμα δεν τυχαίο αφού:
$\int_{0}^{1}{x}dx=\int_{0}^{\frac{5\pi }{2}}{sintcostdt}=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{sintcost}dt+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}{sintcost}dt=\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}$
Στην γενική μορφή το τελευταίο ολοκλήρωμα θα αντιστοιχεί σε ολοκλήρωμα της μορφής $\int_{a}^{b}{g'(t)}dt$ , με g(a)=g(b) που προφανώς ισούται με μηδέν.

Άρα μήπως το 1-1 δεν ήταν αναγκαίο στο βιβλίο των δεσμών;(αλλά και σε άλλα βιβλία)
Μπορώ να έχω ένα παράδειγμα με αντικατάσταση που δεν οδηγεί σε σωστό αποτέλεσμα; (βασικά δεν μπορώ να βρω).

Βιβλιογραφία: Στέλιος Πηχωρίδης: Απειροστικός λογισμός Ι (πρόχειρες σημειώσεις)

Αποστόλης

#2

7apostolis έγραψε:Καλησπέρα,
μερικές σκέψεις στο θέμα που απασχόλησε το :

Υπολογίζουμε το $\int_{0}^{1}{x}dx=\frac{1}{2}$ (εύκολα).
Αλλιώς:
Θέτω x=sint (x=ημt), t στο Δ=[0, 5π/2]. Προφανώς η συνάρτηση της αντικατάστασης δεν είναι 1-1 στο Δ.
Τότε
$\int_{0}^{1}{x}dx=\int_{0}^{\frac{5\pi }{2}}{sintcostdt}=\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{5\pi }{2}}{(sin2t)(2t)'dt}=\frac{1}{4}\int_{0}^{5\pi}{sinudu}=\frac{1}{4}[-cosu]^{5\pi}_{0}=\frac{1}{4}[-(-1)-(-1)]=\frac{1}{2}$
Το αποτέλεσμα δεν τυχαίο αφού:
$\int_{0}^{1}{x}dx=\int_{0}^{\frac{5\pi }{2}}{sintcostdt}=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{sintcost}dt+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}{sintcost}dt=\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}$
Στην γενική μορφή το τελευταίο ολοκλήρωμα θα αντιστοιχεί σε ολοκλήρωμα της μορφής $\int_{a}^{b}{g'(t)}dt$ , με g(a)=g(b) που προφανώς ισούται με μηδέν.

Άρα μήπως το 1-1 δεν ήταν αναγκαίο στο βιβλίο των δεσμών;(αλλά και σε άλλα βιβλία)
Μπορώ να έχω ένα παράδειγμα με αντικατάσταση που δεν οδηγεί σε σωστό αποτέλεσμα; (βασικά δεν μπορώ να βρω).

Βιβλιογραφία: Στέλιος Πηχωρίδης: Απειροστικός λογισμός Ι (πρόχειρες σημειώσεις)

Αποστόλης

Υπάρχουν αρκετές "παθολογικές" συναρτήσεις, π.χ.

Υπάρχει γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για την οποία
ισχύει f'(x)=0

σχεδόν παντού στο $\mathbb{R}$ .

********************
Το παρακάτω επιδέχεται έλεγχο....

Ίσως αν θέσουμε x=f(t)

για μια τέτοια (ή παρόμοια) συνάρτηση το ολοκλήρωμα $\int_0^1 x\,dx$ θα βγεί μηδέν (??)

********************

Φιλικά,

Αχιλλέας

7apostolis · #3

Αχιλλέα καλησπέρα,
Θεωρώ τις προϋποθέσεις του σχολικού βιβλίου ( η παράγωγος της συνάρτησης της αντικατάστασης ναναι συνεχής) δεδομένες. Ενδιαφέρομαι για την αναγκαιότητα της προϋπόθεσης του 1-1.
Στο παράδειγμά σου η f ' είναι συνεχής;
Κάτι δεν έχω καταλάβει μάλλον.
Για να γίνω πιο σαφής:
Ψάχνω για παράδειγμα υπολογισμού ολοκληρώματος με αντικατάσταση x=u(t), u'(t) συνεχής , u όχι 1-1
και το αποτέλεσμα να είναι λάθος.
Αποστόλης

#4

7apostolis έγραψε:Αχιλλέα καλησπέρα,
Θεωρώ τις προϋποθέσεις του σχολικού βιβλίου ( η παράγωγος της συνάρτησης της αντικατάστασης ναναι συνεχής) δεδομένες. Ενδιαφέρομαι για την αναγκαιότητα της προϋπόθεσης του 1-1.
Στο παράδειγμά σου η f ' είναι συνεχής;
Κάτι δεν έχω καταλάβει μάλλον.
Για να γίνω πιο σαφής:
Ψάχνω για παράδειγμα υπολογισμού ολοκληρώματος με αντικατάσταση x=u(t), u'(t) συνεχής , u όχι 1-1
και το αποτέλεσμα να είναι λάθος.
Αποστόλης

Μαλλον εγώ δεν κατάλαβα....παρακαλώ, αγνόησε το προηγούμενο μήνυμα διότι φαντάζομαι δεν απαντά σε αυτό που ρωτάς...

Μια στιγμή για να μην μπερδευτούμε πάλι.

στο μήνυμα του Αναστάση

viewtopic.php?f=46&t=7228&p=41593#p41593

υπάρχουν το 1ο και το 2ο θεώρημα αντικατάστασης σε συνημμένο.

Σε ποιό θεώρημα αναφέρεσαι; (δεν έχω το σχολικό βιβλίο...)

Φιλικά,

Αχιλλέας

gbag · #5

Αχιλλέα καλησπερα.
Εχω κάνει, στην τελευταία σελίδα του προηγούμενου ποστ, μια αναφορά σε διεθνή βιβλιογραφία όπου το 1-1 δεν χρειάζεται.

Γιώργος

#6

Καλησπέρα, Γιώργο,

Είχα δει και την αναφορά σου. Μάλιστα, είχα στειλει κι ένα μήνυμα πιο πριν που ουσιαστικά συμφωνούσε

viewtopic.php?f=46&t=7228&p=41487#p41487

Θα ξανακοιτάξω την ερώτηση του Αποστόλη αύριο...

Καληνύχτα!

Αχιλλέας

#7

Καλημέρα,

Στο παράδειγμα σου Αποστόλη έχουμε τα εξής:

$I_1=\int_{0}^{5\pi/2} \sin t\cos t\, dt$ και $I_2=\int_0^1 x\, dx$ .

Αν μας ζητάνε το I_1

, δηλ. θέλουμε να υπολογίσουμε το I_1

, τότε η αντικατάσταση $x=\sin t$ είναι καθόλα νόμιμη, παρόλο που η $t\mapsto \sin t$ δεν είνaι 1-1 στο $[0,5\pi/2]$ (όπως έγραφα και στο θέμα του παραπάνω link)

Αν ξεκινάμε με το I_2

, τότε αν θέσουμε $x=\sin t$ (που πάλι επιτρέπεται εδώ) παίρνουμε για τα όρια ολοκληρώσεως ως προς

, $\sin^{-1}(0)=0$ και $\sin^{-1}(1)=\frac{\pi}{2}$ . Γενικότερα $\sin^{-1}([0,1])=[0,\frac{\pi}{2}]$ .

Συνεπώς, θα γράφαμε

$I_2=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t\cos t \,dt=\dots..$

κι όχι

$I_2=\int_0^{\frac{5\pi}{2}} \sin t\cos t \,dt=\dots..$ .

Ουσιαστικά, θέλουμε να ορίζεται η αντίστροφη της

στο

, όταν ξεκινάμε με τον υπολογισμό του I_2

, επαναλαμβάνω, για να βρούμε το νέο διάστημα ολοκληρώσεως.

Αυτό εννούσα με την ερώτηση μου σε πιο θεώρημα αντικατάστασης αναφερόμαστε.

Φιλικά,

Αχιλλέας.

7apostolis · #8

Καλημέρα,
λόγω κούρασης από διόρθωση γραπτών πήγα χθες για ύπνο νωρίς και δεν είδα τα ποστ σας.
Βασικός λόγος που γράφηκε το ποστ μου είναι η δυσκολία που έχουν οι συνάδελφοι να αποδεχτούν ότι κάτι που γράφηκε σε ένα βιβλίο δεσμών μπορεί να είναι ελλειπές.
Στο εν λόγω βιβλίο η απόδειξη που γίνεται δεν δείχνει την αναγκαιότητα της συνθήκης 1-1 για την συνάρτηση της αντικατάστασης! Ούτε υπάρχει ένα αντιπαράδειγμα ώστε να βλέπει κανείς που υπάρχει το πρόβλημα αν δεν ελέγξει το 1-1.
Δυστυχώς τα αντιπαραδείγματα που δίνουν συνάδελφοι που διαφωνούν, βγάζουν ολοκλήρωμα με κοινά άκρα (δηλ. 0), ενώ το ολοκλήρωμα είναι θετικό, αλλά δεν κάνουν τις αντικαταστάσεις μέσα!
Αχιλλέα αναφέρομε στο πρώτο θεώρημα για ορισμένο ολοκλήρωμα.Μάλλον δεν ήμουν σαφής, ευχαριστώ παντως για την ενασχόληση με το θέμα.)
Γιώργο προφανώς και συμφωνώ με το ποστ σου.
Αποστόλης

7apostolis · #9

Αχιλλέα μόλις είδα την απάντησή σου!
Το ερώτημά μου είναι που είναι το λάθος εδώ: (εγώ δεν βλέπω λάθος)

κι όχι

$I_2=\int_0^{\frac{5\pi}{2}} \sin t\cos t \,dt=\dots..$

Πάτησα λάθος κουμπί, σόρι.
Αποστόλης

#10

7apostolis έγραψε:Αχιλλέα μόλις είδα την απάντησή σου!
Το ερώτημά μου είναι που είναι το λάθος εδώ: (εγώ δεν βλέπω λάθος)

κι όχι

$I_2=\int_0^{\frac{5\pi}{2}} \sin t\cos t \,dt=\dots..$

Πάτησα λάθος κουμπί, σόρι.
Αποστόλης

Ως ισότητα δεν είναι λάθος, ισχύει από το πρώτο θεώρημα αντικατάστασης.

Ξεκινώντας με το I_2

,όμως, εφαρμόζουμε το 2ο θεώρημα αντικατάστασης...
Οπότε το νέο διάστημα ολοκληρώσεως θα είναι το $[0,\pi/2]$ .
Το σύνολο τιμών της $\sin^{-1}$ είναι το $[-\pi/2,\pi,2]$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ιστοσελίδα · #11

Δείτε και αυτό:

IMG.pdf: (996.96 KiB) Μεταφορτώθηκε 127 φορές

Νεγρεπόντης - Γιωτόπουλος - Γιαννακούλιας

#12

polysot έγραψε:Δείτε και αυτό:
IMG.pdf
Νεγρεπόντης - Γιωτόπουλος - Γιαννακούλιας

Είναι η σελίδα που έχει δώσει και ο Αναστάσης από το ίδιο βιβλίο εδώ.

Νίκος

Ιστοσελίδα · #13

nkatsipis έγραψε:
polysot έγραψε:Δείτε και αυτό:
IMG.pdf
Νεγρεπόντης - Γιωτόπουλος - Γιαννακούλιας
Είναι η σελίδα που έχει δώσει και ο Αναστάσης από το ίδιο βιβλίο εδώ.

Νίκος

πράγματι! Δεν το είχα προσέξει...

Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος με την μέθοδο της αντικα

Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος με την μέθοδο της αντικα

Re: Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος με την μέθοδο της αν

Re: Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος με την μέθοδο της αν

Re: Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος με την μέθοδο της αν

Re: Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος με την μέθοδο της αν

Re: Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος με την μέθοδο της αν

Re: Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος με την μέθοδο της αν

Re: Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος με την μέθοδο της αν

Re: Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος με την μέθοδο της αν

Re: Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος με την μέθοδο της αν

Re: Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος με την μέθοδο της αν

Re: Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος με την μέθοδο της αν

Re: Υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος με την μέθοδο της αν

Μέλη σε σύνδεση