Ἐξίσωση μὲ σταθερούς συντελεστές

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $a_0,\ldots,a_{n-1}: I\to\mathbb R$ , συνεχεῖς, ὅπου ἀνοικτὸ διάστημα, καὶ $\mathcal X$ τὸ σύνολο τῶν λύσεων τῆς ἐξισώσεως:

$\displaystyle{ x^{(n)}+a_{n-1}(t)x^{(n-1)}+\cdots+a_0(t)x^{(0)}=0. }$

Ἔστω ἐπίσης ὅτι τὸ $\mathcal X$ ἔχει τὴν ἰδιότητα:

$\displaystyle{ \varphi\in\mathcal X \,\,\Longrightarrow\,\, \varphi'\in\mathcal X. }$

Δείξατε ὅτι οἱ $a_0,\ldots,a_{n-1}$ εἶναι σταθερές.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

$\Phi '(t)=A(t)\Phi (t)$

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 11, 2022 2:14 pm
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $a_0,\ldots,a_{n-1}: I\to\mathbb R$ , συνεχεῖς, ὅπου ἀνοικτὸ διάστημα, καὶ $\mathcal X$ τὸ σύνολο τῶν λύσεων τῆς ἐξισώσεως:

$\displaystyle{ x^{(n)}+a_{n-1}(t)x^{(n-1)}+\cdots+a_0(t)x^{(0)}=0. }$

Ἔστω ἐπίσης ὅτι τὸ $\mathcal X$ ἔχει τὴν ἰδιότητα:

$\displaystyle{ \varphi\in\mathcal X \,\,\Longrightarrow\,\, \varphi'\in\mathcal X. }$

Δείξατε ὅτι οἱ $a_0,\ldots,a_{n-1}$ εἶναι σταθερές.

Με τον γνωστό τρόπο γράφουμε την εξίσωση σαν γραμμικό σύστημα $n\times n$

έστω x'(t)=A(t)x(t)

Αν $\Phi (t)$ θεμελειώδης πίνακας λύσεων τότε η υπόθεση μας λέει ότι και ο $\Phi '(t)$

είναι λύση του συστήματος.

Ετσι από την $\displaystyle \Phi '(t)=A(t)\Phi (t)$

παραγωγίζοντας παίρνουμε

$\displaystyle \Phi ''(t)=A(t)\Phi '(t)+ A'(t)\Phi (t)$

δηλαδή $\displaystyle A'(t)\Phi (t)=0$

Επειδή ο $\Phi (t)$ είναι αντιστρέψιμος έχουμε

$\displaystyle A'(t)= 0$

που δίνει το ζητούμενο

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Ἁπλῶς, χρειάζεται νὰ δειχθεῖ ὅτι A(t)

διαφορίσιμος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 12, 2022 1:19 pm
Ἁπλῶς, χρειάζεται νὰ δειχθεῖ ὅτι διαφορίσιμος.

Το θεώρησα αυτονόητο.
Προκύπτει από την
$\displaystyle A(t)=\Phi '(t)\Phi ^{-1}(t)$
όπου τα στοιχεία του $\Phi ^{-1}(t)$ έχουν παρανομαστή την Wronskian,και αριθμητή γραμμικώς συνδιασμούς γινομένων
λύσεων καθώς και παραγώγων τους.
Ετσι αυτά είναι παραγωγίσημα.

Ἐξίσωση μὲ σταθερούς συντελεστές

Ἐξίσωση μὲ σταθερούς συντελεστές

Re: Ἐξίσωση μὲ σταθερούς συντελεστές

Re: Ἐξίσωση μὲ σταθερούς συντελεστές

Re: Ἐξίσωση μὲ σταθερούς συντελεστές

Μέλη σε σύνδεση