Αόριστα Ολοκληρώματα

[stranger]

Καλησπέρα
Σύμφωνα με τον ορισμό των αορίστων ολοκληρωμάτων όταν μιλάμε για αυτά πρέπει να πούμε και το πεδίο ορισμού τους. Σχεδόν ποτέ δεν γίνεται αυτό όμως. Ξέρει κανείς γιατί;
Επίσης το πεδίο ορισμού τους πρέπει να είναι πάντα διάστημα το οποίο σχεδόν κανένας δεν το αναφέρει. Ο λόγος είναι ότι για να έχουμε ότι δυο αντιπαράγωγοι μιας συνάρτησης διαφέρουν πάντα μια σταθερά πρέπει το σύνολο να είναι συνεκτικό(τα συνεκτικά υποσύνολα των πραγματικών είναι ακριβώς τα διαστήματα).
Πουθενά όμως στη βιβλιογραφία που έχω δει δεν διευκρινίζεται το πεδίο ορισμού των αορίστων ολοκληρωμάτων. Ξέρει κανείς γιατι; Είναι τα αόριστα ολοκληρώματα μια "σχολική" έννοια;
Σε μαθηματικά που το επίπεδό τους είναι πιο πάνω από το σχολικό, σπάνια γίνεται αναφορά σε αόριστα ολοκληρώματα. Ξέρει κανείς γιατί;

[nsmavrogiannis]

Νομίζω ότι οι διαπιστώσεις αφορούν ορισμένα βιβλία αλλά δεν γενικεύονται.
Ενδεικτικά αναφέρω:
Το
Νεγρεπόντης, Γιωτόπουλος, Γιαννακούλιας Απειροστικός Λογισμός ΙΙα, Συμμετρία, 2000
όπου στην σελίδα 67 ορίζεται ως ένα ολοκλήρωμα μια συνεχούς ορισμένης σε διάστημα κάθε συνάρτηση με την ιδιότητα η να είναι σταθερά όπου είναι η την οποία οι συγγραφείς ονομάζουν το αόριστο ολοκλήρωμα της .
Παρομοίως στο
Nikolsky A course of Mathematical Analysis Ι Mir, 1981
στην σελίδα 314 ως αόριστο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς στο ορίζεται η κλα΄ση όλων των αντιπαραγώγων της .
Φυσικά υπάρχουν βιβλία Ανάλυσης από τα οποία απουσιάζει εντελώς η μνεία του αορίστου ολοκληρώματος και αναπτύσσεται το (ορισμένο) ολοκλήρωμα Riemann, το Riemann-Stieltjes ή άλλα σε γενικότερη κατεύθυνση, Ωστόσο αυτά υποτίθεται ότι έπονται κάποιων γνώσεων Calculus όπου εκεί έχει εκτεθεί το αόριστο ολοκλήρωμα Riemann. Αλλά ούτε και αυτός είναι γενικός κανόνας. Λ.χ. στο
Dieudonne Foundations of Modern Analysis Academic Press, 1969
στην παράγραφο 8.7 εισάγει πρώτα την πρωταρχική (primitive) μια συνάρτησης ως μία συνεχή συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στα σημεία του διαστήματος εκτός ίσως από ένα αριθμήσιμο πλήθος και εκεί η παράγωγος συμπίπτει με την και ορίζει ως το !