Ελάχιστο παράστασης

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\alpha_1 < \alpha_2< \cdots < \alpha_\nu$ πραγματικοί αριθμοί. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\mathcal{S} = \left| x - \alpha_1 \right| + \left| x- \alpha_2 \right| + \cdots + \left| x - \alpha_\nu \right|}$
Χωρίς λύση...

#2

Αν $\displaystyle{n}$ περιττός, θεωρούμε τα συμμετρικά ζευγάρια ως προς τον μεσαίο όρο και δεν πειράζουμε τον μεσαίο όρο, ο οποίος είναι φυσικά μη αρνητικός. Για να φανεί η διαδικασία το δείχνω για συγκεκριμένο $\displaystyle{n=5.}$

Ας είναι π.χ. $\displaystyle{f(x)=|x-1|+|x-3|+|x-13|+|x-54|+|x-100|.}$

Είναι $\displaystyle{|x-1|+|x-100|\geq |x-1-(x-100)|=99}$ και η ισότητα ισχύει όταν $\displaystyle{x\in [1,100].}$

Ομοίως είναι $\displaystyle{|x-3|+|x-54|\geq 51}$ και η ισότητα ισχύει όταν $\displaystyle{x\in [3,54]..}$

Άρα $\displaystyle{f(x)\geq 150}$ και η ισότητα ισχύει όταν $\displaystyle{x\in [1,00]\cap [3,54]}$ και $\displaystyle{x=13,}$ δηλαδή όταν $\displaystyle{x=13.}$

Επομένως το ελάχιστο είναι το $\displaystyle{150.}$

Γενικά για $\displaystyle{n}$ περιττό το ελάχιστο είναι $\displaystyle{a_n+a_{n-1}+\cdots +a_k-(a_{k-1}+\cdots +a_1),}$ όπου $\displaystyle{k=\left[\frac{n}{2}\right]+1}$ .

Για $\displaystyle{n}$ άρτιο, η κατάσταση είναι παρόμοια, απλώς τώρα δεν υπάρχει ο μεσαίος όρος, οπότε δουλεύουμε μόνο με τα ζευγάρια.

Το δείχνω για $\displaystyle{n=6.}$

Ας είναι π.χ. $\displaystyle{f(x)=|x-1|+|x-3|+|x-15|+|x-20|+|x-30|+|x-100|.}$

Είναι $\displaystyle{f(x)\geq |x-1-(x-100)|+|x-3-(x-30)|+|x-15-(x-20)|=99+27+5=131}$

και η ισότητα πιάνεται για $\displaystyle{x\in [1,00]\cap [3,30]\cap [15,20] \iff x\in [15,20].}$

Γενικά, αν το $\displaystyle{n}$ είναι άρτιο, το ελάχιστο πιάνεται σε ένα ευθύγραμμο τμήμα.

Το ελάχιστο είναι το $\displaystyle{a_n+a_{n-1}+\cdots +a_{\frac{n}{2}}-(a_{\frac{n}{2}-1}+\cdots a_2+a_1).}$

*** Προφανώς ανήκει σε άλλον φάκελο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 29, 2021 8:28 pm
Έστω $\alpha_1 < \alpha_2< \cdots < \alpha_\nu$ πραγματικοί αριθμοί. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\mathcal{S} = \left| x - \alpha_1 \right| + \left| x- \alpha_2 \right| + \cdots + \left| x - \alpha_\nu \right|}$
Χωρίς λύση...

Αν θέσουμε $\displaystyle{f(x)= \left| x - \alpha_1 \right| + \left| x- \alpha_2 \right| + \cdots + \left| x - \alpha_n \right|}$
η συνάρτηση είναι κυρτή,και γραμμική στα υποδιαστήματα που ορίζουν τα a_i

Ετσι η ελάχιστη τιμή είναι το
f(a_k)

αν

και τα
$f(a_k)=f(a_{k+1})$ αν n=2k

Ελάχιστο παράστασης

Ελάχιστο παράστασης

Re: Ελάχιστο παράστασης

Re: Ελάχιστο παράστασης

Μέλη σε σύνδεση