Ενδιαφέρον Αποτέλεσμα για εκθετική-λογαριθμική συνάρτηση

#1

Καλημέρα σε όλους,

Ένα ενδιαφέρον θέμα το οποίο μπορεί να "γεννήσει" ενδιαφέρουσες ασκήσεις:

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=a^x

και $g(x)=\dfrac{\ln{x}}{\ln{a}}$ με a>1

. (Στην ουσία πρόκειται για τη συνάρτηση $\log_a{x}$ αλλά την έγραψα έτσι για να είναι εντός ύλης της Γ Λυκείου όπου οι μόνες λογαριθμικές που επιτρέπεται να εμφανίζονται είναι οι $\ln{x}$ και $\log{x}$ ).

(i)

Να βρείτε την τιμή a_0

του

, ώστε οι δύο αυτές συναρτήσεις να έχουν μοναδικό σημείο τομής.
(ii)

Να δείξετε ότι για a>a_0

δεν έχουν κοινά σημεία, ενώ για 1<a<a_0

έχουν ακριβώς

κοινά σημεία τομής.

Σχόλιο: Γνωρίζουμε ότι το γνωστό ζεύγος συναρτήσεων y=e^x

και $y=\ln{x}$ δεν έχει κοινά σημεία (η απόξειξη μπορεί να γίνει με ποικίλους τρόπους). Στην ουσία το παραπάνω θέμα, βρίσκει το "κατάλληλο" ζεύγος εκθετικής-λογαριθμικής συνάρτησης το οποίο είναι τέτοιο ώστε οι δύο συναρτήσεις να τέμνονται σε ένα και μόνο σημείο και οποιοδήποτε άλλο ζεύγος να έχει είτε ακριβώς

σημεία τομής είτε κανένα.

BAGGP93 · #2

Καλημέρα. Ας δούμε τι γίνεται με την εξίσωση $h(x)=f(x)-g(x)=a^x-\dfrac{\ln\,x}{\ln\,a}\,,x>0\,\,(\ast)$ . Όπως γνωρίζουμε η

είναι γνησίως αύξουσα

στο $\mathbb{R}$ με σύνολο τιμών $\left(0,+\infty\right)$ . Επομένως, ορίζεται η $f^{-1}:\left(0,+\infty\right)\to \mathbb{R}$ και έχουμε ότι για δοθέν

y>0

η εξίσωση

έχει λύση ως προς

την $x=\dfrac{\ln\,y}{\ln\,a}$ . Συνεπώς, $f^{-1}=g$ και εφ' όσον η

είναι γνησίως αύξουσα, η

εξίσωση $(\ast)$ ισοδυναμεί με την $k(x)=f(x)-x=0\iff k(x)=a^x-x=0\,,x>0$ . Παραγωγίζουμε και ισχύει

$k^{\prime}(x)=a^x\,\ln\,a-1\,,x>0$ . Σε όλο το $\mathbb{R}$ η εξίσωση $k^{\prime}(x)=0$ έχει μοναδική λύση $\rho=-\dfrac{\ln\,(\ln\,a)}{\ln\,a}$

Μας ενδιαφέρει στο $\left(0,+\infty\right)$ , οπότε για $a\geq e$ ισχύει $\rho\leq 0$ και άρα η $k^{\prime}$ διατηρεί πρόσημο. Επειδή, k(0)=1

και

$k(x)\stackrel{x\to +\infty}{\to} +\infty$ έπεται

γνησίως αύξουσα χωρίς ρίζα στο $\left(0,+\infty\right)$ . Θα ασχοληθούμε με 1<a<e

για το οποίο

παρατηρούμε ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left(0,\rho\right)$ και γνησίως αύξουσα στο $\left(\rho,+\infty\right)$ όπου $\rho=-\dfrac{\ln\,(\ln\,a)}{\ln\,a}$

Για το σύνολο τιμών της

έχουμε

$\displaystyle{k(\left(0,+\infty\right))=\left[k(\rho),k(0)\right)\cup\left[k(\rho),\lim_{x\to +\infty}f(x)\right]=\left[\dfrac{1+\ln\,(\ln\,a)}{\ln\,a},1\right)\cup\left[\dfrac{1+\ln\,(\ln\,a)}{\ln\,a},+\infty\right)}$

Να σχολιάσουμε εδώ (ίσως προφανές) ότι ισχύει $\dfrac{1+\ln\,(\ln\,a)}{\ln\,a}<1$ διότι

$\dfrac{1+\ln\,(\ln\,a)}{\ln\,a}<1\iff 1+\ln\,(\ln\,a)<\ln\,a\iff \ln\,(\ln\,a)<\ln\,\dfrac{a}{e}\iff \dfrac{\ln\,a}{a}<\dfrac{e}{\ln\,e}$ (που ισχύει για a<e

).

Μοναδική ρίζα θα έχουμε μόνο αν $1+\ln\,(\ln\,a)=0$ (και μάλιστα $x=\rho=e$ ) και για $1+\ln\,(\ln\,a)<0$ θα έχουμε 2 ακριβώς ρίζες, μια στο $\left(0,\rho\right)$

και άλλη μια μεγαλύτερη του $\rho$ ενώ για $1+\ln\,(\ln\,a)>0$ δεν τέμνονται. Τελική απάντηση $a_0=e^{1/e}$ .

#3

Nομίζω οτι το "ζουμί " του θέματος είναι το παρακάτω

$\displaystyle{f : (0, +\infty)\to R , f\uparrow & , f(f(x))=x \forall x>0 }$ τότε $\displaystyle{f(x)=x , \forall x>0}$
Αποδειξη
προφανως $\displaystyle{f(x)>0}$
Eστω οτι $\displaystyle{f(x_0)\ne x_0}$ για κάποιο $\displaystyle{x_0>0}$ kαι ας είναι πχ
$\displaystyle{f(x_0)>x_0}$ τότε $\displaystyle{x_0=f(f(x_0))>f(x_0)}$ αντιφαση

Να και μια εύκολη ασκηση γι αυτό

$\displaystyle{f : (0, +\infty) \to (0, +\infty) , xf(y)<yf(x) \forall x>y>0 , f(x)=f^{-1}(x)}$ Nα βρείτε τον τυπο της $\displaystyle{f}$

#4

'Ισως ενδιαφέρει σχετικά το άρθρο:

Μπάμπης Τουμάσης_Πόσο καλά έχουμε κατανοήσει την εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β', 1994 (3), σ. 52-55

Έχω αναφερθεί σε αυτό και στο παρελθόν (viewtopic.php?t=2944#p15974) αλλά ο σύνδεσμος που υπάρχει εκεί σε μένα δεν λειτουργεί. Για αυτό το λόγο το ανεβάζω εδώ.

Τουμάσης_Πόσο καλά έχουμε κατανοήσει την εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση;.pdf: (1.68 MiB) Μεταφορτώθηκε 70 φορές

#5

Άλλη μία προσέγγιση είναι να βρούμε πρώτα την τιμή του $\alpha >1$ ώστε η γραφική παράσταση της $f(x)=\alpha ^x$ να εφάπτεται στην ευθεία y=x

. Προφανώς τότε, το σημείο επαφής θα είναι ταυτόχρονα και το σημείο επαφής με την γραφική παράσταση της $f^{-1}(x)=\dfrac{lnx}{ln\alpha}$ το οποίο και θα είναι το μοναδικό κοινό σημείο των δύο συναρτήσεων.
Η τιμή που προκύπτει εύκολα είναι η $\alpha=e^{\frac{1}{e}}$ .
Μένει να αποδείξουμε ότι για $\alpha >e^{\frac{1}{e}}$ έχουμε f(x)>x

, ενώ για $1<\alpha<e^{\frac{1}{e}}$ αποδεικνύεται ότι η C_f

τέμνει την y=x

, επομένως και την αντίστροφή της ακριβώς σε δύο σημεία.

Ενδιαφέρον Αποτέλεσμα για εκθετική-λογαριθμική συνάρτηση

Ενδιαφέρον Αποτέλεσμα για εκθετική-λογαριθμική συνάρτηση

Re: Ενδιαφέρον Αποτέλεσμα για εκθετική-λογαριθμική συνάρτηση

Re: Ενδιαφέρον Αποτέλεσμα για εκθετική-λογαριθμική συνάρτηση

Re: Ενδιαφέρον Αποτέλεσμα για εκθετική-λογαριθμική συνάρτηση

Re: Ενδιαφέρον Αποτέλεσμα για εκθετική-λογαριθμική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση