ANIΣΟΤΗΤΑ

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2292
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

ANIΣΟΤΗΤΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Φεβ 02, 2021 4:56 pm

\displaystyle{h:[a,,b]\to R} η \displaystyle{h} είναι συνεχής, γνήσια μονότονη και έχει θετικό μέγιστο .Να δείξετε ότι
lim_{x\to +\infty} \int_{a}^{b}h(t)e^{xh(t)}dt=+\infty



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13464
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ANIΣΟΤΗΤΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Φεβ 02, 2021 7:46 pm

R BORIS έγραψε:
Τρί Φεβ 02, 2021 4:56 pm
\displaystyle{h:[a,,b]\to R} η \displaystyle{h} είναι συνεχής, γνήσια μονότονη και έχει θετικό μέγιστο .Να δείξετε ότι
lim_{x\to +\infty} \int_{a}^{b}h(t)e^{xh(t)}dt=+\infty
Έστω h γνήσια φθίνουσα (όμοια για γνήσια αύξουσα), οπότε το μέγιστο είναι στο a με h(a) >0, και το ελάχιστο στο b. Διακρίνουμε περιπτώσεις:

α) Το ελάχιστο h(b) \ge 0 (δηλαδή όλες οι τιμές της συνάρτησης είναι \ge 0) και μάλιστα γνήσια θετικές εκτός ίσως στο b). Τότε από την μονοτονία και για  c= \frac {a+b}{2} έχουμε

\displaystyle{\int_{a}^{b}h(t)e^{xh(t)}dt\ge \int_{a}^{c}h(t)e^{xh(t)}dt \ge \int_{a}^{c}h\left (c\right )e^{xh\left (c\right )}dt = h \left (c\right )e^{xh\left (c\right )} (c-a) \to \infty} καθώς  x\to \infty (διότι h(c) >0) , όπως θέλαμε.


b) Το ελάχιστο h(b) \ge 0, δηλαδή h παίρνει και αρνητικές τιμές. Έστω c η (μοναδική) ρίζα της h. Τότε αφού είναι αρνητική μετά το c έχουμε \displaystyle{h(t) e^{xh(t)} \ge h(t)e^0 } (=ανεξάρτητο του x) και άρα \displaystyle{\int _c^b h(t) e^{xh(t)}dt  \ge  \int _c^b h(t) dt =I=} σταθερό.

Άρα

\displaystyle{\int_{a}^{b}h(t)e^{xh(t)}dt = \int_{a}^{c}h(t)e^{xh(t)}dt  + \int_{a}^{c}h(t)e^{xh(t)}dt \ge  \int_{a}^{c}h(t)e^{xh(t)}dt +I}

Παίρνουμε τώρα όριο x\to \infty. Παρατηρούμε ότι από την α) περίπτωση με [a,c] στην θέση του [a,b], το ολοκλήρωμα τείνει στο +\infty. Το ζητούμενο τώρα είναι άμεσο.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2292
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: ANIΣΟΤΗΤΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Φεβ 03, 2021 8:39 am

Μια αλλη λυση βρισκεται στο βιβλίο μου ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ σελιδες 488-489 στα αρχεία του :logo: ή στον ΕΚΘΕΤΗ του Νικου Μαυρογιάννη


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης