Διαφορ(ετ)ική εξίσωση

KARKAR · #1

: Διαφορ(ετ)ική εξίσωση.png (10.96 KiB) Προβλήθηκε 812 φορές

Έστω : $f: (0,+\infty)\rightarrow (0,+\infty)$ . Σε σημείο

, το οποίο κινείται επί της $C_{f}$ φέρω

εφαπτομένη , η οποία τέμνει τον

στο σημείο

. Αν το εμβαδόν του τριγώνου TOS

είναι σταθερό (

) : α) Βρείτε ( ακριβέστερα μαντέψτε ) μία

μ' αυτήν την ιδιότητα .

β) Μπορούμε να βρούμε όλες τις συναρτήσεις

, που έχουν αυτήν την ιδιότητα ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 18, 2020 10:23 am
Διαφορ(ετ)ική εξίσωση.pngΈστω : $f: (0,+\infty)\rightarrow (0,+\infty)$ . Σε σημείο , το οποίο κινείται επί της $C_{f}$ φέρω

εφαπτομένη , η οποία τέμνει τον στο σημείο . Αν το εμβαδόν του τριγώνου

είναι σταθερό ( ) : α) Βρείτε ( ακριβέστερα μαντέψτε ) μία μ' αυτήν την ιδιότητα .

α) Μία συνάρτηση που το επαληθεύει είναι η $\boxed{f(x) = \frac{a}{x},a > 0}$ και το σταθερό εμβαδόν είναι $\boxed{E=a}$

BAGGP93 · #3

Στο τυχόν $(t,f(t))\in C_{f}\,,t>0$ , η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η $y-f(t)=f^{\prime}(t)(x-t)$ , οπότε για την τετμημένη του

έχουμε

$-f(t)=f^{\prime}(t)(x-t)$ . Αν $f^{\prime}(t)=0$ , τότε f(t)=0

, άτοπο, οπότε $f^{\prime}(t)\neq 0$ (και μάλιστα $f^{\prime}(t)<0$ ) και $x-t=-\dfrac{f(t)}{f^{\prime}(t)}\iff x=t-\dfrac{f(t)}{f^{\prime}(t)}$

Έτσι, $OS=t-\dfrac{f(t)}{f^{\prime}(t)}$ και το ύψος του τριγώνου αν πάρω σαν βάση την

είναι το

. Έτσι, για κάθε t>0

έχουμε ότι $\displaystyle{f(t)\,\left(t-\dfrac{f(t)}{f^{\prime}(t)}\right)=2\,E}$

άρα $2\,t\,f(t)\,f^{\prime}(t)-2\,f^2(t)=4\,E\,f^{\prime}(t)\,,t>0\iff t\,f^{\prime}(t)-f(t)=2\,E\,\dfrac{f^{\prime}(t)}{f(t)}\,,t>0$ ή ισοδύναμα

$\displaystyle{f(t)-t\,f^{\prime}(t)=-2\,E\,\dfrac{f^{\prime}(t)}{f(t)}&\iff \dfrac{f(t)-t\,f^{\prime}(t)}{f^2(t)}=-2\,E\,\dfrac{f^{\prime}(t)}{f^3(t)}}$

Υπάρχει λοιπόν σταθερά $c\in\mathbb{R}$ ώστε $\dfrac{t}{f(t)}=\dfrac{E}{f^2(t)}+c\,,t>0$ απ΄όπου συνεπάγεται $c\,f^2(t)-t\,f(t)+E=0\,,t>0$ .

Ας υποθέσουμε ότι $c\neq 0$ . Έστω t>0

. Τότε ο αριθμός f(t)>0

είναι ρίζα του τριωνύμου $c\,x^2-t\,x+E=0$ , οπότε $\displaystyle{\Delta\geq 0\iff t^2-4\,c\,E>0\iff t^2>4\,c\,E}$

Άρα, c=0

και έπεται ότι $t\,f(t)=E\,,t>0\iff f(t)=\dfrac{E}{t}\,,t>0$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

BAGGP93 έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 18, 2020 2:04 pm
Στο τυχόν $(t,f(t))\in C_{f}\,,t>0$ , η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η $y-f(t)=f^{\prime}(t)(x-t)$ , οπότε για την τετμημένη του έχουμε

$-f(t)=f^{\prime}(t)(x-t)$ . Αν $f^{\prime}(t)=0$ , τότε , άτοπο, οπότε $f^{\prime}(t)\neq 0$ (και μάλιστα $f^{\prime}(t)<0$ ) και $x-t=-\dfrac{f(t)}{f^{\prime}(t)}\iff x=t-\dfrac{f(t)}{f^{\prime}(t)}$

Έτσι, $OS=t-\dfrac{f(t)}{f^{\prime}(t)}$ και το ύψος του τριγώνου αν πάρω σαν βάση την είναι το . Έτσι, για κάθε έχουμε ότι $\displaystyle{f(t)\,\left(t-\dfrac{f(t)}{f^{\prime}(t)}\right)=2\,E}$

άρα $2\,t\,f(t)\,f^{\prime}(t)-2\,f^2(t)=4\,E\,f^{\prime}(t)\,,t>0\iff t\,f^{\prime}(t)-f(t)=2\,E\,\dfrac{f^{\prime}(t)}{f(t)}\,,t>0$ ή ισοδύναμα

$\displaystyle{f(t)-t\,f^{\prime}(t)=-2\,E\,\dfrac{f^{\prime}(t)}{f(t)}&\iff \dfrac{f(t)-t\,f^{\prime}(t)}{f^2(t)}=-2\,E\,\dfrac{f^{\prime}(t)}{f^3(t)}}$

Υπάρχει λοιπόν σταθερά $c\in\mathbb{R}$ ώστε $\dfrac{t}{f(t)}=\dfrac{E}{f^2(t)}+c\,,t>0$ απ΄όπου συνεπάγεται $c\,f^2(t)-t\,f(t)+E=0\,,t>0$ .

Ας υποθέσουμε ότι $c\neq 0$ . Έστω . Τότε ο αριθμός είναι ρίζα του τριωνύμου $c\,x^2-t\,x+E=0$ , οπότε $\displaystyle{\Delta\geq 0\iff t^2-4\,c\,E>0\iff t^2>4\,c\,E}$

Άρα, και έπεται ότι $t\,f(t)=E\,,t>0\iff f(t)=\dfrac{E}{t}\,,t>0$ .

ποιος απαγορεύει να είναι c<0

;

BAGGP93 έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 18, 2020 2:04 pm
Ας υποθέσουμε ότι $c\neq 0$ . Έστω . Τότε ο αριθμός είναι ρίζα του τριωνύμου $c\,x^2-t\,x+E=0$ , οπότε $\displaystyle{\Delta\geq 0\iff t^2-4\,c\,E>0\iff t^2>4\,c\,E}$
Άρα, και έπεται ότι $t\,f(t)=E\,,t>0\iff f(t)=\dfrac{E}{t}\,,t>0$

BAGGP93 · #5

ποιος απαγορεύει να είναι c<0

;

BAGGP93 έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 18, 2020 2:04 pm
Ας υποθέσουμε ότι $c\neq 0$ . Έστω . Τότε ο αριθμός είναι ρίζα του τριωνύμου $c\,x^2-t\,x+E=0$ , οπότε $\displaystyle{\Delta\geq 0\iff t^2-4\,c\,E>0\iff t^2>4\,c\,E}$
Άρα, και έπεται ότι $t\,f(t)=E\,,t>0\iff f(t)=\dfrac{E}{t}\,,t>0$

Στην περίπτωση όπου c<0

προκύπτει $f(t)=\dfrac{t\pm \sqrt{t^2-4\,c\,E}}{2\,c}$ και επειδή f(t)>0

δεν μπορεί να ισχύει $f(t)=\dfrac{t+\sqrt{t^2-4\,c\,E}}{2\,c}$

Άρα, $f(t)=\dfrac{t-\sqrt{t^2-4\,c\,E}}{2\,c}\,,t>0$

Ευχαριστώ για την διόρθωση. Είναι πλήρης τώρα;

KARKAR · #6

Η μικρή ιστορία του προβλήματος : Υπάρχει άσκηση στο σχολικό που ζητά τα αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου

που σχηματίζει μια εφαπτομένη της καμπύλης $\dfrac{1}{x}$ με τους άξονες ισούται με

. Γενικεύοντας

για την $\dfrac{E}{x}$ , προκύπτει :

. Για να γίνει το αποτέλεσμα πιο "φανταιζί" έκοψα στην μέση το εμβαδόν ,

οπότε τώρα : (TOS)=E

. Μου δημιουργήθηκε η απορία αν υπάρχουν άλλες τέτοιες συναρτήσεις .

Η αρχική μου "πρόβλεψη" ήταν : μάλλον ναι . Διαβάζοντας την - τρομερή κατά τα άλλα

- λύση του Ευάγγελου

ένοιωσα την ικανοποίηση για την δύναμη του θέματος αλλά και την διάψευση της αρχικής μου προσδοκίας .

Η παρέμβαση όμως του Σταύρου

, ήταν θείο δώρο : Βρέθηκαν κι άλλες λύσεις !

Η αρχική συνάρτηση ήταν η $f(x)=\dfrac{8}{x}$ , ( E=8

) . Θέτοντας τώρα c=-1

,

: Η άλλη λύση.png (11.16 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

προκύπτει η : $f(x)=\dfrac{1}{2}(\sqrt{x^2+32}-x)$ , η οποία έχει επίσης αυτήν την ιδιότητα και μάλιστα

χωρίς περιορισμό στο πεδίο ορισμού . Νομίζω κύριοι ότι κάναμε σπουδαία δουλειά ...

Διαφορ(ετ)ική εξίσωση

Διαφορ(ετ)ική εξίσωση

Re: Διαφορ(ετ)ική εξίσωση

Re: Διαφορ(ετ)ική εξίσωση

Re: Διαφορ(ετ)ική εξίσωση

Re: Διαφορ(ετ)ική εξίσωση

Re: Διαφορ(ετ)ική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση