Ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Μου την έστειλε χθες ένας φίλος ... έκανα μία μακροσκελή λύση η οποία δε μου αρέσει...

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int \frac{\sin^4 x}{\cos x}\, \mathrm{d}x}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 24, 2020 6:57 pm
Μου την έστειλε χθες ένας φίλος ... έκανα μία μακροσκελή λύση η οποία δε μου αρέσει...

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int \frac{\sin^4 x}{\cos x}\, \mathrm{d}x}$

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int \frac{(1- \cos^2 x)^2}{\cos x}\, \mathrm{d}x} = \int \frac{1- 2\cos^2 x + \cos ^4 x}{\cos x}\, \mathrm{d}x} = \int \sec x \mathrm{d}x -2\int \cos x \mathrm{d}x + \int \cos ^3 \mathrm{d}x } =$ όλα απλά και γνωστά.

ksofsa · #3

Ακόμα μία λύση (πιο μακροσκελή):

$I=\int \dfrac{sin^4x}{cos^2x}\cdot cosxdx= \int \dfrac{sin^4x}{1-sin^2x}\cdot (sinx)'dx$

Θέτω u=sinx

και έχω:

$I=\int \dfrac{u^4}{1-u^2}du=-\int \dfrac{u^4}{u^2-1}du=-\int \dfrac{(u^4-u^2)+(u^2-1)+1}{u^2-1}du=$

$=-\int u^2du-\int 1du-\int \dfrac{1}{u^2-1}du=-\dfrac{u^3}{3}-u+\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{u+1}-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{u-1}du=$

$=-\dfrac{u^3}{3}-u+\dfrac{1}{2}ln\left | u+1 \right |-\dfrac{1}{2}ln\left | u-1 \right |+c=$

$=-\dfrac{u^3}{3}-u+\dfrac{1}{2}ln\left | \dfrac{1+u}{1-u} \right |+c=-\dfrac{sin^3x}{3}-sinx+\dfrac{1}{2}ln\left | \dfrac{1+sinx}{1-sinx} \right |+c=$

$=-\dfrac{sin^3x}{3}-sinx+\dfrac{1}{2}ln\left | \dfrac{(1+sinx)^2}{cos^2x} \right |+c=-\dfrac{sin^3x}3{}-sinx+ln\left | tanx+secx \right |+c$

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση