Ολοκλήρωμα

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4584
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Νοέμ 24, 2020 6:57 pm

Μου την έστειλε χθες ένας φίλος ... έκανα μία μακροσκελή λύση η οποία δε μου αρέσει...


Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{\mathcal{J} = \int \frac{\sin^4 x}{\cos x}\, \mathrm{d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 24, 2020 8:01 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Νοέμ 24, 2020 6:57 pm
Μου την έστειλε χθες ένας φίλος ... έκανα μία μακροσκελή λύση η οποία δε μου αρέσει...


Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{\mathcal{J} = \int \frac{\sin^4 x}{\cos x}\, \mathrm{d}x}

\displaystyle{\mathcal{J} = \int \frac{(1- \cos^2 x)^2}{\cos x}\, \mathrm{d}x}    =  \int \frac{1- 2\cos^2 x + \cos ^4 x}{\cos x}\, \mathrm{d}x}  = \int \sec x \mathrm{d}x -2\int \cos x \mathrm{d}x + \int \cos ^3 \mathrm{d}x } = όλα απλά και γνωστά.


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 239
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τρί Νοέμ 24, 2020 8:51 pm

Ακόμα μία λύση (πιο μακροσκελή):

I=\int \dfrac{sin^4x}{cos^2x}\cdot cosxdx= \int \dfrac{sin^4x}{1-sin^2x}\cdot (sinx)'dx

Θέτω u=sinx και έχω:

I=\int \dfrac{u^4}{1-u^2}du=-\int \dfrac{u^4}{u^2-1}du=-\int \dfrac{(u^4-u^2)+(u^2-1)+1}{u^2-1}du=

=-\int u^2du-\int 1du-\int \dfrac{1}{u^2-1}du=-\dfrac{u^3}{3}-u+\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{u+1}-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{u-1}du=

 =-\dfrac{u^3}{3}-u+\dfrac{1}{2}ln\left | u+1 \right |-\dfrac{1}{2}ln\left | u-1 \right |+c=

=-\dfrac{u^3}{3}-u+\dfrac{1}{2}ln\left | \dfrac{1+u}{1-u} \right |+c=-\dfrac{sin^3x}{3}-sinx+\dfrac{1}{2}ln\left | \dfrac{1+sinx}{1-sinx} \right |+c=

=-\dfrac{sin^3x}{3}-sinx+\dfrac{1}{2}ln\left | \dfrac{(1+sinx)^2}{cos^2x} \right |+c=-\dfrac{sin^3x}3{}-sinx+ln\left | tanx+secx \right |+c


Κώστας Σφακιανάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης