Άσκηση κατανόησης

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4451
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Άσκηση κατανόησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Σεπ 14, 2020 8:46 am

Βασιζόμενοι στο παρακάτω σχήμα να φτιαχτεί μία άσκηση κατανόησης στην έννοια της συνέχειας.

\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
  	  \draw[->] (-4, 0) -- (4, 0) node[below]{x}; 
  	  \draw[->] (0, -3) -- (0, 3) node[left]{y}; 
  	  \draw[line width=1.6pt]  plot[smooth,domain=-3.5:-2.1] (\x, {1/((\x)^2-4)}); 
  	  \draw[line width=1.6pt]  plot[smooth,domain=2.1:3.5] (\x, {1/((\x)^2-4)}); 
  	  \draw[line width=1.6pt]  plot[smooth,domain=-1.9:1.9] (\x, {1/((\x)^2-4)}); 
  	  \draw[dashed] (2, 3) -- (2, -3); 
  	  \draw[dashed] (-2, 3) -- (-2, -3); 
  	  \draw (-1.8, 0) node[above]{-2}; 
  	  \draw (1.8, 0) node[above]{2}; 
  	\end{tikzpicture}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση κατανόησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Δευ Σεπ 14, 2020 10:27 am

Να πω ένα κοινότυπο ερώτημα: «Είναι η f συνεχής στο πεδίο ορισμού της;»

Ένα βήμα παρακάτω: «Μπορούμε να ορίσουμε την f στα -2,2 έτσι ώστε να είναι συνεχής στο \mathbb{R}»


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1258
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Άσκηση κατανόησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Σεπ 14, 2020 3:59 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 8:46 am
Βασιζόμενοι στο παρακάτω σχήμα να φτιαχτεί μία άσκηση κατανόησης στην έννοια της συνέχειας.
Θα έλεγα ότι το μυαλό τείνει να αναδείξει την έννοια της ασύμπτωτης με το σχήμα, παρά την συνέχεια (την ασυνέχεια καλύτερα).


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4451
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση κατανόησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Σεπ 14, 2020 6:28 pm

Τα ερωτήματα που έβαλα εγώ είναι:

  1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f.
  2. Να υπολογιστούν , αν υπάρχουν , τα όρια:
    1. \lim \limits_{x \rightarrow 2} f(x)
    2. \lim \limits_{x \rightarrow -2} f(x)
    3. \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)
    4. \lim \limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)
  3. Είναι συνεχής η f στο x_0=2 ; Στο x_0=-2 ; Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.
  4. Είναι συνεχής η f στο πεδίο ορισμού της; Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.

Ίσως μπορούμε να βάλουμε και άλλα ερωτήματα ...

Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 3:59 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 8:46 am
Βασιζόμενοι στο παρακάτω σχήμα να φτιαχτεί μία άσκηση κατανόησης στην έννοια της συνέχειας.
Θα έλεγα ότι το μυαλό τείνει να αναδείξει την έννοια της ασύμπτωτης με το σχήμα, παρά την συνέχεια (την ασυνέχεια καλύτερα).

Πήρα το σχήμα από ένα calculus textbook. Το μόνο που ζητούσε εκεί ήταν να εξεταστεί η f ως προς τη συνέχεια.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9814
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άσκηση κατανόησης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Σεπ 14, 2020 7:11 pm

Αν η γραφική παράσταση τέμνει τον y'y στο \displaystyle A\left( {0, - \frac{1}{4}} \right), να εξετάσετε αν η \displaystyle f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4}} θα μπορούσε να είναι η συνάρτηση που απεικονίζεται στο σχήμα.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση κατανόησης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Σεπ 14, 2020 7:29 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 6:28 pm


[*]Είναι συνεχής η f στο x_0=2 ; Στο x_0=-2 ; Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.
Αντί για το ερώτημα αυτό θα προτιμούσα το ερώτημα του Βασίλη παραπάνω , ή πιο απλά :
" Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της;"
Αυτό ,διότι στο μυαλό των μαθητών δημιουργείται σύγκρουση με τη διαισθητική εικόνα που έχουν για τη συνέχεια (συνεχές είναι κάτι που ποτέ δεν διακόπτεται ) . Το σχήμα που έβαλες πιστεύω ότι έχει αυτό το σκοπό .


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4451
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση κατανόησης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Σεπ 14, 2020 7:54 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 7:11 pm
Αν η γραφική παράσταση τέμνει τον y'y στο \displaystyle A\left( {0, - \frac{1}{4}} \right), να εξετάσετε αν η \displaystyle f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4}} θα μπορούσε να είναι η συνάρτηση που απεικονίζεται στο σχήμα.

Γιώργο η συνάρτηση όντως είναι αυτή. Αλλά εξήγησέ μου πώς εμπνεύστηκες το ερώτημα;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4451
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση κατανόησης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Σεπ 14, 2020 7:54 pm

exdx έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 7:29 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 6:28 pm


[*]Είναι συνεχής η f στο x_0=2 ; Στο x_0=-2 ; Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.
Αντί για το ερώτημα αυτό θα προτιμούσα το ερώτημα του Βασίλη παραπάνω , ή πιο απλά :
" Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της;"
Αυτό ,διότι στο μυαλό των μαθητών δημιουργείται σύγκρουση με τη διαισθητική εικόνα που έχουν για τη συνέχεια (συνεχές είναι κάτι που ποτέ δεν διακόπτεται ) . Το σχήμα που έβαλες πιστεύω ότι έχει αυτό το σκοπό .
Ναι Γιώργη αυτό το σκοπό έχει, για αυτό έβαλα και αυτό το ερώτημα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12652
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση κατανόησης

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Σεπ 14, 2020 8:24 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 7:54 pm
... Αλλά εξήγησέ μου πώς εμπνεύστηκες το ερώτημα;
Η έμπνευση είναι όπως η ποίηση: Δεν προβλέπεις τον επόμενο στίχο από τον προηγούμενο.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9814
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άσκηση κατανόησης

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 15, 2020 8:36 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 7:54 pm
george visvikis έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 7:11 pm
Αν η γραφική παράσταση τέμνει τον y'y στο \displaystyle A\left( {0, - \frac{1}{4}} \right), να εξετάσετε αν η \displaystyle f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4}} θα μπορούσε να είναι η συνάρτηση που απεικονίζεται στο σχήμα.

Γιώργο η συνάρτηση όντως είναι αυτή. Αλλά εξήγησέ μου πώς εμπνεύστηκες το ερώτημα;
Λόγω των ασυμπτώτων, κατάλαβα ότι η συνάρτηση έχει τη μορφή \displaystyle f(x) = \frac{a}{{{x^2} - 4}}, a>0. Στη συνέχεια βλέποντας τα μεγέθη στο σχήμα, υπέθεσα ότι θα μπορούσε να είναι a=1.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12652
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση κατανόησης

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Σεπ 15, 2020 9:11 am

Ας προσθέσω ότι υπάρχουν και άλλες συναρτήσεις με του "ιδίου τύπου" σχήμα. Για παράδειγμα η \displaystyle{y=\dfrac {1}{|x|-2}}.

Άλλες είναι οι "παραλλαγές" \displaystyle{y=\dfrac {x}{x^2-4}} και \displaystyle{y=\dfrac {x^2}{x^4-16}} και \displaystyle{y=\dfrac {x^4}{x^8-256}}


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση κατανόησης

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Τρί Σεπ 15, 2020 10:26 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Σεπ 15, 2020 9:11 am
Ας προσθέσω ότι υπάρχουν και άλλες συναρτήσεις με του "ιδίου τύπου" σχήμα. Για παράδειγμα η \displaystyle{y=\dfrac {1}{|x|-2}}.

Άλλες είναι οι "παραλλαγές" \displaystyle{y=\dfrac {x}{x^2-4}} και \displaystyle{y=\dfrac {x^2}{x^4-16}} και \displaystyle{y=\dfrac {x^4}{x^8-256}}
Μάλιστα, δε χρειάζεται καν να επιμείνουμε σε ρητές συναρτήσεις, καθώς π.χ. και η \dfrac{1}{e^{x^2}-e^2} έχει παρόμοια μορφή - αν και ποιοτικά διαφέρει από τις άλλες, αλλά με μια ματιά δε φαίνεται αυτό.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9814
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άσκηση κατανόησης

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 15, 2020 11:06 am

Σωστά! Θα μπορούσε να είναι μία από όλες αυτές τις συναρτήσεις. Φαντάζομαι, θα υπάρχουν και άλλες.
Απλώς, η \displaystyle f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4}} μου φάνηκε εκείνη τη στιγμή που έγραφα, η πιο "βολική".


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση κατανόησης

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Τρί Σεπ 15, 2020 3:24 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Σεπ 15, 2020 11:06 am
Σωστά! Θα μπορούσε να είναι μία από όλες αυτές τις συναρτήσεις. Φαντάζομαι, θα υπάρχουν και άλλες.
Απλώς, η \displaystyle f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4}} μου φάνηκε εκείνη τη στιγμή που έγραφα, η πιο "βολική".
Βασικά, αν το βλέπω σωστά αυτή τη στιγμή, αν g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} είναι μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση τότε η:

\displaystyle{f(x)=\frac{1}{g(x^2)-g(4)}}

πρέπει να έχει τον ίδιο «τύπο» γραφικής παράστασης με την \frac{1}{x^2-4}. Βέβαια, γράφω βιαστηκά οπότε μπορεί να τα λέω και λάθος. :)


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2245
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση κατανόησης

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Νοέμ 26, 2020 7:32 pm

νομίζω οτι εδω αποσαφηνίζεται το γεγονός οτι μια συνεχής συναρτηση μπορεί να έχει γραφική παρασταση μια διακοπτόμενη γραμμή


kkala
Δημοσιεύσεις: 135
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 30, 2014 6:12 pm

Re: Άσκηση κατανόησης

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkala » Τρί Δεκ 01, 2020 9:46 am

Θερμή παράκληση να απαντηθούν ένα προς ένα τα ερωτήματα του #4 (Tolaso J Kos) για την f(x)=1/(x^{2}-4), ώστε να διασαφηνισθεί πλήρως το θέμα και για τους κάπως άσχετους (όπως εγώ, και ενδεχομένως μαθητές).
Καταλαβαίνω ότι η συνάρτηση είναι ασυνεχής για x=\pm 2, αλλά οι τιμές αυτές του x δεν περιλαμβάνονται στο πεδίο ορισμού της (μηδενίζουν τον παρονομαστή του 1/(x^{2}-4)). Αρα στο πεδίο ορισμού της η f(x) είναι συνεχής, έτσι;


Κώστας Καλαϊτζόγλου
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2245
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση κατανόησης

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Δεκ 01, 2020 10:02 am

δεν υπαρχει συναρτηση στο -2 και το 2
Επομενως δεν εχει νόημα η συνεχεια εκεί ΔΕΝ είναι ούτε συνεχής ούτε Ασυνεχής. ΠΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ?


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1858
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Άσκηση κατανόησης

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τρί Δεκ 01, 2020 10:11 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 6:28 pm
Τα ερωτήματα που έβαλα εγώ είναι:

  1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f.
  2. Να υπολογιστούν , αν υπάρχουν , τα όρια:
    1. \lim \limits_{x \rightarrow 2} f(x)
    2. \lim \limits_{x \rightarrow -2} f(x)
    3. \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)
    4. \lim \limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)
  3. Είναι συνεχής η f στο x_0=2 ; Στο x_0=-2 ; Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.
  4. Είναι συνεχής η f στο πεδίο ορισμού της; Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.

Ίσως μπορούμε να βάλουμε και άλλα ερωτήματα ...
Στιγμιότυπο από 2020-12-01 10-02-50.png
Στιγμιότυπο από 2020-12-01 10-02-50.png (36.5 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές

i. A_f=(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)

ii. a. Δεν υπάρχει (βλέπε παραπάνω σχήμα)

b. Δεν υπάρχει (βλέπε παραπάνω σχήμα)

c. 0 (βλέπε σχήμα)

d. 0 (βλέπε σχήμα)

iii. Ερώτηση που στερείται νοήματος (άρα και απάντησης). Οι -2,2 δεν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης και η έννοια της συνέχειας στο βιβλίο σου αναφέρεται σε σημεία του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης με την προυπόθεση ότι ορίζονται περιοχές αριστερά ή δεξιά απο αυτά.

iv.
kkala έγραψε:
Τρί Δεκ 01, 2020 9:46 am
στο πεδίο ορισμού της η f(x) είναι συνεχής.
(βλέπε σχήμα)


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
kkala
Δημοσιεύσεις: 135
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 30, 2014 6:12 pm

Re: Άσκηση κατανόησης

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkala » Πέμ Δεκ 03, 2020 12:38 am

Ευχαριστώ θερμά τον R. Boris και Christos N, που με τις άμεσες απαντήσεις τους διευκρινίζουν το θέμα . Η πρώτη μου σκέψη ήταν ότι τα πλευρικά όρια της f(x) ήσαν διαφορετικά για x\rightarrow 2, καθόσον είναι εξ αριστερών -\infty και εκ δεξιών +\infty, άρα η f(x) είναι ασυνεχής για x=2 (παρομοίως και για x\rightarrow-2). Τούτο είναι λανθασμένο, διότι ουσιαστικά δεν υπάρχει (δεν ορίζεται) η f(2) και f(-2).
Σημείωση: Δεν αρκεί η ισότητα των δύο πλευρικών ορίων για να είναι η f(x) συνεχής για x=2, πρέπει επίσης τα δύο τούτα όρια (από αριστερά και από δεξιά) να είναι ίσα μεf(2) . Επίσης η B(x)=1/\left |x^{2}-4\right | δεν θα ήταν συνεχής για x=\pm2, ακόμα και αν (αυθαίρετα) ορίζαμε συγκεκριμένες τιμές της B(2), B(-2).


Κώστας Καλαϊτζόγλου
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης