Άσκηση κατανόησης

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4364
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Άσκηση κατανόησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Σεπ 14, 2020 8:46 am

Βασιζόμενοι στο παρακάτω σχήμα να φτιαχτεί μία άσκηση κατανόησης στην έννοια της συνέχειας.

\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
  	  \draw[->] (-4, 0) -- (4, 0) node[below]{x}; 
  	  \draw[->] (0, -3) -- (0, 3) node[left]{y}; 
  	  \draw[line width=1.6pt]  plot[smooth,domain=-3.5:-2.1] (\x, {1/((\x)^2-4)}); 
  	  \draw[line width=1.6pt]  plot[smooth,domain=2.1:3.5] (\x, {1/((\x)^2-4)}); 
  	  \draw[line width=1.6pt]  plot[smooth,domain=-1.9:1.9] (\x, {1/((\x)^2-4)}); 
  	  \draw[dashed] (2, 3) -- (2, -3); 
  	  \draw[dashed] (-2, 3) -- (-2, -3); 
  	  \draw (-1.8, 0) node[above]{-2}; 
  	  \draw (1.8, 0) node[above]{2}; 
  	\end{tikzpicture}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 268
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση κατανόησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Δευ Σεπ 14, 2020 10:27 am

Να πω ένα κοινότυπο ερώτημα: «Είναι η f συνεχής στο πεδίο ορισμού της;»

Ένα βήμα παρακάτω: «Μπορούμε να ορίσουμε την f στα -2,2 έτσι ώστε να είναι συνεχής στο \mathbb{R}»


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1194
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Άσκηση κατανόησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Σεπ 14, 2020 3:59 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 8:46 am
Βασιζόμενοι στο παρακάτω σχήμα να φτιαχτεί μία άσκηση κατανόησης στην έννοια της συνέχειας.
Θα έλεγα ότι το μυαλό τείνει να αναδείξει την έννοια της ασύμπτωτης με το σχήμα, παρά την συνέχεια (την ασυνέχεια καλύτερα).


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4364
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση κατανόησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Σεπ 14, 2020 6:28 pm

Τα ερωτήματα που έβαλα εγώ είναι:

  1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f.
  2. Να υπολογιστούν , αν υπάρχουν , τα όρια:
    1. \lim \limits_{x \rightarrow 2} f(x)
    2. \lim \limits_{x \rightarrow -2} f(x)
    3. \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)
    4. \lim \limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)
  3. Είναι συνεχής η f στο x_0=2 ; Στο x_0=-2 ; Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.
  4. Είναι συνεχής η f στο πεδίο ορισμού της; Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.

Ίσως μπορούμε να βάλουμε και άλλα ερωτήματα ...

Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 3:59 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 8:46 am
Βασιζόμενοι στο παρακάτω σχήμα να φτιαχτεί μία άσκηση κατανόησης στην έννοια της συνέχειας.
Θα έλεγα ότι το μυαλό τείνει να αναδείξει την έννοια της ασύμπτωτης με το σχήμα, παρά την συνέχεια (την ασυνέχεια καλύτερα).

Πήρα το σχήμα από ένα calculus textbook. Το μόνο που ζητούσε εκεί ήταν να εξεταστεί η f ως προς τη συνέχεια.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9589
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άσκηση κατανόησης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Σεπ 14, 2020 7:11 pm

Αν η γραφική παράσταση τέμνει τον y'y στο \displaystyle A\left( {0, - \frac{1}{4}} \right), να εξετάσετε αν η \displaystyle f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4}} θα μπορούσε να είναι η συνάρτηση που απεικονίζεται στο σχήμα.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1526
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση κατανόησης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Σεπ 14, 2020 7:29 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 6:28 pm


[*]Είναι συνεχής η f στο x_0=2 ; Στο x_0=-2 ; Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.
Αντί για το ερώτημα αυτό θα προτιμούσα το ερώτημα του Βασίλη παραπάνω , ή πιο απλά :
" Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της;"
Αυτό ,διότι στο μυαλό των μαθητών δημιουργείται σύγκρουση με τη διαισθητική εικόνα που έχουν για τη συνέχεια (συνεχές είναι κάτι που ποτέ δεν διακόπτεται ) . Το σχήμα που έβαλες πιστεύω ότι έχει αυτό το σκοπό .


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4364
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση κατανόησης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Σεπ 14, 2020 7:54 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 7:11 pm
Αν η γραφική παράσταση τέμνει τον y'y στο \displaystyle A\left( {0, - \frac{1}{4}} \right), να εξετάσετε αν η \displaystyle f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4}} θα μπορούσε να είναι η συνάρτηση που απεικονίζεται στο σχήμα.

Γιώργο η συνάρτηση όντως είναι αυτή. Αλλά εξήγησέ μου πώς εμπνεύστηκες το ερώτημα;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4364
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση κατανόησης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Σεπ 14, 2020 7:54 pm

exdx έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 7:29 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 6:28 pm


[*]Είναι συνεχής η f στο x_0=2 ; Στο x_0=-2 ; Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.
Αντί για το ερώτημα αυτό θα προτιμούσα το ερώτημα του Βασίλη παραπάνω , ή πιο απλά :
" Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της;"
Αυτό ,διότι στο μυαλό των μαθητών δημιουργείται σύγκρουση με τη διαισθητική εικόνα που έχουν για τη συνέχεια (συνεχές είναι κάτι που ποτέ δεν διακόπτεται ) . Το σχήμα που έβαλες πιστεύω ότι έχει αυτό το σκοπό .
Ναι Γιώργη αυτό το σκοπό έχει, για αυτό έβαλα και αυτό το ερώτημα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12430
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση κατανόησης

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Σεπ 14, 2020 8:24 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 7:54 pm
... Αλλά εξήγησέ μου πώς εμπνεύστηκες το ερώτημα;
Η έμπνευση είναι όπως η ποίηση: Δεν προβλέπεις τον επόμενο στίχο από τον προηγούμενο.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9589
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άσκηση κατανόησης

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 15, 2020 8:36 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 7:54 pm
george visvikis έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 7:11 pm
Αν η γραφική παράσταση τέμνει τον y'y στο \displaystyle A\left( {0, - \frac{1}{4}} \right), να εξετάσετε αν η \displaystyle f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4}} θα μπορούσε να είναι η συνάρτηση που απεικονίζεται στο σχήμα.

Γιώργο η συνάρτηση όντως είναι αυτή. Αλλά εξήγησέ μου πώς εμπνεύστηκες το ερώτημα;
Λόγω των ασυμπτώτων, κατάλαβα ότι η συνάρτηση έχει τη μορφή \displaystyle f(x) = \frac{a}{{{x^2} - 4}}, a>0. Στη συνέχεια βλέποντας τα μεγέθη στο σχήμα, υπέθεσα ότι θα μπορούσε να είναι a=1.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12430
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση κατανόησης

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Σεπ 15, 2020 9:11 am

Ας προσθέσω ότι υπάρχουν και άλλες συναρτήσεις με του "ιδίου τύπου" σχήμα. Για παράδειγμα η \displaystyle{y=\dfrac {1}{|x|-2}}.

Άλλες είναι οι "παραλλαγές" \displaystyle{y=\dfrac {x}{x^2-4}} και \displaystyle{y=\dfrac {x^2}{x^4-16}} και \displaystyle{y=\dfrac {x^4}{x^8-256}}


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 268
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση κατανόησης

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Τρί Σεπ 15, 2020 10:26 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Σεπ 15, 2020 9:11 am
Ας προσθέσω ότι υπάρχουν και άλλες συναρτήσεις με του "ιδίου τύπου" σχήμα. Για παράδειγμα η \displaystyle{y=\dfrac {1}{|x|-2}}.

Άλλες είναι οι "παραλλαγές" \displaystyle{y=\dfrac {x}{x^2-4}} και \displaystyle{y=\dfrac {x^2}{x^4-16}} και \displaystyle{y=\dfrac {x^4}{x^8-256}}
Μάλιστα, δε χρειάζεται καν να επιμείνουμε σε ρητές συναρτήσεις, καθώς π.χ. και η \dfrac{1}{e^{x^2}-e^2} έχει παρόμοια μορφή - αν και ποιοτικά διαφέρει από τις άλλες, αλλά με μια ματιά δε φαίνεται αυτό.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9589
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άσκηση κατανόησης

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 15, 2020 11:06 am

Σωστά! Θα μπορούσε να είναι μία από όλες αυτές τις συναρτήσεις. Φαντάζομαι, θα υπάρχουν και άλλες.
Απλώς, η \displaystyle f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4}} μου φάνηκε εκείνη τη στιγμή που έγραφα, η πιο "βολική".


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 268
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση κατανόησης

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Τρί Σεπ 15, 2020 3:24 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Σεπ 15, 2020 11:06 am
Σωστά! Θα μπορούσε να είναι μία από όλες αυτές τις συναρτήσεις. Φαντάζομαι, θα υπάρχουν και άλλες.
Απλώς, η \displaystyle f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4}} μου φάνηκε εκείνη τη στιγμή που έγραφα, η πιο "βολική".
Βασικά, αν το βλέπω σωστά αυτή τη στιγμή, αν g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} είναι μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση τότε η:

\displaystyle{f(x)=\frac{1}{g(x^2)-g(4)}}

πρέπει να έχει τον ίδιο «τύπο» γραφικής παράστασης με την \frac{1}{x^2-4}. Βέβαια, γράφω βιαστηκά οπότε μπορεί να τα λέω και λάθος. :)


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες