Συναρτησιακή σχέση

Nikos127 · #1

Δεν έχω λυση. Έστω συνεχής συνάρτηση $f:[0,1] \to [0,1]$ για την οποία ισχύει f(x)=f(x^3)

. Να βρεθεί η

.

Μάρκος Βασίλης · #2

Δεν γνωρίζω αν υπάρχει λύση αυστηρά εντός του φακέλου.

Αρχικά, κάθε σταθερή συνάρτηση στο [0,1]

ικανοποιεί τους παραπάνω περιορισμούς. Θεωρούμε τώρα ένα $a\in(0,1)$ . Τότε από την υπόθεση έχουμε ότι:

$\displaystyle{f(a)=f(a^3)=f(a^9)=f(a^{27})=\ldots=f(a^{3^n})=\ldots,}$

Τώρα, αφού $a\in(0,1)$ , η ακολουθία $x_n=a^{3^n}$ είναι συγκλίνουσα και μάλιστα $x_n\to0$ . Τότε, από την αρχή της μεταφοράς (για τη συνέχεια) παίρνουμε:

$\displaystyle{\lim f(x_n)=f(\lim x_n)=f(0)\Rightarrow f(a)=f(0),}$

επομένως, αφού το $a\in(0,1)$ ήταν αυθαίρετο, η

είναι σταθερή στο [0,1)

. Λόγω συνέχειας, θα είναι σταθερή και στο [0,1]

.

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ · #3

Δε νομίζω ότι αυτή η άσκηση έχει σχέση με τα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου. Αν κάνω λάθος ας με διορθώσει κάποιος.

Μάρκος Βασίλης · #4

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 18, 2020 6:49 pm
Δε νομίζω ότι αυτή η άσκηση έχει σχέση με τα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου. Αν κάνω λάθος ας με διορθώσει κάποιος.

Κι εγώ δε βλέπω άμεση λύση στα πλαίσια της ύλης του λυκείου - ίσως βέβαια, απλά να μας διαφεύγει.

Ας μας πει ο θεματοθέτης που βρήκε την παραπάνω άσκηση, μήπως καταλάβουμε περισσότερα.

Nikos127 · #5

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 18, 2020 9:30 pm

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 18, 2020 6:49 pm
Δε νομίζω ότι αυτή η άσκηση έχει σχέση με τα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου. Αν κάνω λάθος ας με διορθώσει κάποιος.
Κι εγώ δε βλέπω άμεση λύση στα πλαίσια της ύλης του λυκείου - ίσως βέβαια, απλά να μας διαφεύγει.

Ας μας πει ο θεματοθέτης που βρήκε την παραπάνω άσκηση, μήπως καταλάβουμε περισσότερα.

Την άσκηση αυτή την είδα στο ίντερνετ, ήταν συναρτησιακή σχέση οπότε υπέθεσα πως θα λύνεται με του γ Λυκείου, απ'ότι φαίνεται δεν λυνόταν με αυτήν την ύλη αλλά δεν το γνώριζα όταν έκανα την ανάρτηση καθώς δεν ήξερα πως λύνεται.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Nikos127 έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 18, 2020 9:45 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 18, 2020 9:30 pm

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 18, 2020 6:49 pm
Δε νομίζω ότι αυτή η άσκηση έχει σχέση με τα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου. Αν κάνω λάθος ας με διορθώσει κάποιος.
Κι εγώ δε βλέπω άμεση λύση στα πλαίσια της ύλης του λυκείου - ίσως βέβαια, απλά να μας διαφεύγει.

Ας μας πει ο θεματοθέτης που βρήκε την παραπάνω άσκηση, μήπως καταλάβουμε περισσότερα.
Την άσκηση αυτή την είδα στο ίντερνετ, ήταν συναρτησιακή σχέση οπότε υπέθεσα πως θα λύνεται με του γ Λυκείου, απ'ότι φαίνεται δεν λυνόταν με αυτήν την ύλη αλλά δεν το γνώριζα όταν έκανα την ανάρτηση καθώς δεν ήξερα πως λύνεται.

Αφού δεν έχεις λύση και δεν την έχεις δει σε κάποιο βιβλίο που είναι για Γ Λυκείου
γιατί την βάζεις σε αυτό τον φάκελο;
Μπορεί ένας μαθητής να προσπαθήσει να την λύσει και να φάει τα μούτρα του.
Αυτός ο μαθητής θα μπορούσε να ήσουν και εσύ.
Θα σε παρακαλούσα να είσαι πιο προσεκτικός στο μέλλον.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Nikos127 έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 18, 2020 10:51 am
Δεν έχω λυση. Έστω συνεχής συνάρτηση $f:[0,1] \to [0,1]$ για την οποία ισχύει . Να βρεθεί η .

Επί της ουσίας.
Δεν χρειάζεται το πεδίο τιμών να είναι το [0,1]

Θα μπορούσε να δοθεί ότι

$f:[0,1] \to \mathbb{R}$

Επίσης κάνοντας ''μαγικά'' θα μπορούσε η λύση του Βασίλη
να προσαρμοστεί σε σχολικά δεδομένα.
Δεν βρίσκω δόκιμο να γράψω τέτοια λύση.

Συναρτησιακή σχέση

Συναρτησιακή σχέση

Re: Συναρτησιακή σχέση

Re: Συναρτησιακή σχέση

Re: Συναρτησιακή σχέση

Re: Συναρτησιακή σχέση

Re: Συναρτησιακή σχέση

Re: Συναρτησιακή σχέση

Μέλη σε σύνδεση