2 Λήμματα

Λάμπρος Κατσάπας · #1

1. Αν $f\in C[a,b]$ και για οποιαδήποτε συνάρτηση $g\in C^1[a,b]$ , με g(a)=g(b)=0

,

ισχύει $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x){g}'(x)dx=0$ να δείξετε ότι f(x)=c

(σταθερά) στο [a,b].

2. Αν $f\in C[a,b]$ και για οποιαδήποτε συνάρτηση $g\in C^2[a,b]$ , με g(a)=g(b)={g}'(a)={g}'(b)=0

,

ισχύει $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x){g}''(x)dx=0$ να δείξετε ότι f(x)=c_1+c_2x

(

σταθερές) στο [a,b].

Christos.N · #2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 16, 2020 11:24 pm
1. Αν $f\in C[a,b]$ και για οποιαδήποτε συνάρτηση $g\in C^1[a,b]$ , με ,

ισχύει $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x){g}'(x)dx=0$ να δείξετε ότι (σταθερά) στο

2. Αν $f\in C[a,b]$ και για οποιαδήποτε συνάρτηση $g\in C^2[a,b]$ , με ,

ισχύει $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x){g}''(x)dx=0$ να δείξετε ότι ( σταθερές) στο

Λάμπρο μήπως στο δεύτερο έχει κάποιο τυπογραφικό;

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Christos.N έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 17, 2020 9:39 am
Λάμπρο μήπως στο δεύτερο έχει κάποιο τυπογραφικό;

Καλημέρα κ.Χρήστο. Είναι σωστή η διατύπωση. Δεν υπάρχει τυπογραφικό.

stranger · #4

Γράφω για το (1).
Έστω $c = \frac{\int_{a}^{b}f(y)dy}{b-a}$ .Παρατηρούμε ότι $\int_{a}^{b} (f(x)-c) g'(x) dx = 0$ για κάθε $g \in C^1[a,b]$ με g(a)=g(b)=0

.
Τότε, $g(x)= \int_{a}^{x}(f(t) - c) dt$ . Τότε g'(x)= f(x)-c

και

.
Άρα $\int_{a}^{b}(f(x) - c)^2dx = 0$ . Όποτε επειδή η

είναι συνεχής έχουμε f(x)=c

για κάθε

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 16, 2020 11:24 pm
1. Αν $f\in C[a,b]$ και για οποιαδήποτε συνάρτηση $g\in C^1[a,b]$ , με ,

ισχύει $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x){g}'(x)dx=0$ να δείξετε ότι (σταθερά) στο

2. Αν $f\in C[a,b]$ και για οποιαδήποτε συνάρτηση $g\in C^2[a,b]$ , με ,

ισχύει $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x){g}''(x)dx=0$ να δείξετε ότι ( σταθερές) στο

Να κάνω το 2.
Η πρώτη παρατήρηση είναι ότι αν ισχύει η

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x){g}''(x)dx=0$
ισχύει και η

$\displaystyle \int_{a}^{b}(f(x)-kx+l){g}''(x)dx=0$

Ξεκινώντας από την

$\displaystyle g''(x)=f(x)-c_1(x-a)-c_2$

έχουμε διαδοχικά

$\displaystyle g'(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt-c_1\frac{(x-a)^2}{2}-c_2(x-a)$

$\displaystyle g(x)=\int_{a}^{x}\int_{a}^{t}f(s)dsdt-c_1\frac{(x-a)^3}{6}-c_2\frac{(x-a)^2}{2}$

Από τις συνθήκες g'(b)=0,g(b)=0

προσδιορίζονται τα c_1,c_2

(το σύστημα έχει μοναδική λύση)

Ετσι $\displaystyle \int_{a}^{b}(f(x)-c_1(x-a)-c_2)^{2}dx=0$

και παίρνουμε το ζητούμενο.

Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν αν υποθέσουμε ότι η

είναι άπειρες φορές παραγωγίσημη
και $g^{(n)}(a)=g^{(n)}(b)=0,n\in \mathbb{N}$
με απόδειξη εκτός φακέλου.

2 Λήμματα

2 Λήμματα

Re: 2 Λήμματα

Re: 2 Λήμματα

Re: 2 Λήμματα

Re: 2 Λήμματα

Μέλη σε σύνδεση