Όριο πάνω στα ακρότατα.

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση

η οποία είναι ορισμένη στο $[0,+\infty).$

Έστω $A \neq \varnothing$ το σύνολο των θέσεων τοπικών ακροτάτων της

. Υποθέτουμε ότι το

δεν είναι

άνω φραγμένο. Αν για οποιαδήποτε ακολουθία $(x_n)_{n\in N},$ με $x_n\in A$ για κάθε

και $x_n\rightarrow +\infty$

ισχύει $\lim_{x_n\rightarrow +\infty}f(x_n)=l\in\mathbb{R}$ , να δείξετε ότι $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l.$

Υ.Γ. Δεν έχω κοιτάξει αν η συνέχεια είναι απαραίτητη. Απλουστεύει την απόδειξη όμως.

stranger · #2

ΛΑΘΟΣ POST.

#3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 06, 2020 11:41 pm
Υ.Γ. Δεν έχω κοιτάξει αν η συνέχεια είναι απαραίτητη. Απλουστεύει την απόδειξη όμως.

Δεν ισχύει χωρίς την υπόθεση της συνέχειας. Π.χ. από το γράφημα εύκολα βλέπουμε ότι η $f(x)=x-[x], \, x\ge 0,$ έχει τοπικά ελάχιστα ακριβώς
στους φυσικούς, όπου και ισχύει f(n)=0

. Δεν έχει τοπικά μέγιστα. Έτσι, για οποιαδήποτε ακολουθία $(x_n)_{n\in N},$ με $x_n\in A$ για κάθε

και $x_n\rightarrow +\infty$ ισχύει $\displaystyle{\lim_{x_n\rightarrow +\infty}f(x_n)=0}$ , πλην όμως $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}f(n+1/2)=\frac {1}{2} \to \frac {1}{2} \ne 0}$

#4

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 06, 2020 11:41 pm
Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση η οποία είναι ορισμένη στο $[0,+\infty).$

Έστω $A \neq \varnothing$ το σύνολο των θέσεων τοπικών ακροτάτων της . Υποθέτουμε ότι το δεν είναι

άνω φραγμένο. Αν για οποιαδήποτε ακολουθία $(x_n)_{n\in N},$ με $x_n\in A$ για κάθε και $x_n\rightarrow +\infty$

ισχύει $\lim_{x_n\rightarrow +\infty}f(x_n)=l\in\mathbb{R}$ , να δείξετε ότι $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l.$

Χωρίς βλάβη το

περιέχει μη φραγμένη ακολουθία a_1<a_2<a_3<...

από θέσεις τοπικών ακροτάτων. Η συνεχής

σε κάθε ένα από τα διαστήματα $[a_n, a_{n+1}]$ περιέχει σημείο b_n

όπου η συνάρτηση (περιορισμένη σε αυτό το διάστημα) έχει θέση ολικού ελαχίστου. Όμοια, περιέχει σημείο c_n

όπου η συνάρτηση έχει θέση ολικού μεγίστου. Με άλλα λόγια στο εν λόγω διάστημα ισχύει $f(b_n)\le f(x)\le f(c_n)$ . Υπόψη ότι τα $b_n,\,c_n$ ανήκουν στο

.

Έστω τώρα $\epsilon >0$ . Αφού $\lim f(b_n)= \lim f(c_n) =l$ , υπάρχει n_0

τέτοιο ώστε για κάθε $n\ge n_0$ ισχύει $l-\epsilon < f(b_n)$ και $f(c_n)<l+\epsilon$ . Για $x\ge a_{n_0}$ ισχύει: Για κάποιο $m\ge n_0$ έχουμε $x\in [a_m,a_{m+1}]$ και άρα $f(x)\le f(c_m)< l+\epsilon$ . Όμοια $l-\epsilon \le f(x)$ . Τα δύο μαζί δείχνουν ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l}$ .

Μάρκος Βασίλης · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 07, 2020 9:50 am
Χωρίς βλάβη το περιέχει μη φραγμένη ακολουθία από θέσεις τοπικών ακροτάτων. Η συνεχής σε κάθε ένα από τα διαστήματα $[a_n, a_{n+1}]$ περιέχει σημείο όπου η συνάρτηση (περιορισμένη σε αυτό το διάστημα) έχει θέση ολικού ελαχίστου. Όμοια, περιέχει σημείο όπου η συνάρτηση έχει θέση ολικού μεγίστου. Με άλλα λόγια στο εν λόγω διάστημα ισχύει $f(b_n)\le f(x)\le f(c_n)$ . Υπόψη ότι τα $b_n,\,c_n$ ανήκουν στο .

Έστω τώρα $\epsilon >0$ . Αφού $\lim f(b_n)= \lim f(c_n) =l$ , υπάρχει τέτοιο ώστε για κάθε $n\ge n_0$ ισχύει $l-\epsilon < f(b_n)$ και $f(c_n)<l+\epsilon$ . Για $x\ge a_{n_0}$ ισχύει: Για κάποιο $m\ge n_0$ έχουμε $x\in [a_m,a_{m+1}]$ και άρα $f(x)\le f(c_m)< l+\epsilon$ . Όμοια $l-\epsilon \le f(x)$ . Τα δύο μαζί δείχνουν ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l}$ .

Στην απόδειξη, στην ουσία, χρησιμοποιήσαμε ότι η

παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στα συμπαγή υποσύνολα του $[0,+\infty)$ που είναι κάπως ασθενέστερη υπόθεση της συνέχειας - π.χ. η $f(x)=\dfrac{1}{x}\chi_{\mathbb{Q}_+}$ . Βέβαια, το συγκεκριμένο παράδειγμα είναι μία συνάρτηση σχεδόν παντού ίση με μία συνεχή συνάρτηση. Δεν ξέρω αν ισχύει και το ακόλουθο:

Μία συνάρτηση που παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή σε κάθε συμπαγές υποσύνολο των πραγματικών είναι σχεδόν παντού ίση με μία συνεχή.

Όπως το σκέφτομαι τώρα, βασικά, θα μπορούσαμε να πάρουμε διαμερίσεις του $\mathbb{R}$ της μορφής $\{\frac{k}{2^n},k\in\mathbb{Z},n=1,2,\ldots\}$ και να φτιάξουμε μία ακολουθία συνεχών συναρτήσεων s_n

που σε κάθε διάστημα $A_{k,n}$ να διέρχεται από τα σημεία μεγίστου και ελαχίστου της

. Τώρα, το αν η ακολουθία αυτή είναι ομοιόμορφα βασικά και οι ουσιώδεις λεπτομέρειες που μας λείπουν είναι πράγματα που δεν προλαβαίνω να σκεφτώ τώρα.

Ίσως όμως αργότερα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 07, 2020 4:38 pm

Μία συνάρτηση που παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή σε κάθε συμπαγές υποσύνολο των πραγματικών είναι σχεδόν παντού ίση με μία συνεχή.

Δεν ισχύει.
Πάρε ένα $A\subseteq \mathbb{R}$ μετρήσιμο με την ιδιότητα.

Το

και το $\mathbb{R}-A$ να έχουν με κάθε διάστημα τομή με θετικό μέτρο.
Βάλε
$f(x)=1,x\in A$
και
$f(x)=-1,x\in \mathbb{R}- A$

Μάρκος Βασίλης · #7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 07, 2020 5:38 pm
Δεν ισχύει.
Πάρε ένα $A\subseteq \mathbb{R}$ μετρήσιμο με την ιδιότητα.

Το και το $\mathbb{R}-A$ να έχουν με κάθε διάστημα τομή με θετικό μέτρο.
Βάλε
$f(x)=1,x\in A$
και
$f(x)=-1,x\in \mathbb{R}- A$

Σωστά, αφού έτσι θα έπρεπε η συνάρτηση να είναι σταθερή - από συνέχεια - και άρα δε θα ήταν σχεδόν παντού ίσες.

Ευχαριστώ!

Όριο πάνω στα ακρότατα.

Όριο πάνω στα ακρότατα.

Re: Όριο πάνω στα ακρότατα.

Re: Όριο πάνω στα ακρότατα.

Re: Όριο πάνω στα ακρότατα.

Re: Όριο πάνω στα ακρότατα.

Re: Όριο πάνω στα ακρότατα.

Re: Όριο πάνω στα ακρότατα.

Μέλη σε σύνδεση