Αυξάνοντας τις πλευρές ενός τριγώνου

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4280
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Αυξάνοντας τις πλευρές ενός τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Παρ Μάιος 22, 2020 4:57 pm

Έστω τρίγωνο AB \Gamma και E(x) το εμβαδόν του τριγώνου που προκύπτει αν αυξήσουμε όλες τις πλευρές του AB \Gamma κατά x.
1) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την E(x).
2) Τι μπορούμε να πούμε για το νέο τρίγωνο όταν το x τείνει στο +\infty;


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Αυξάνοντας τις πλευρές ενός τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Μάιος 25, 2020 1:58 pm

nsmavrogiannis έγραψε:
Παρ Μάιος 22, 2020 4:57 pm
Έστω τρίγωνο AB \Gamma και E(x) το εμβαδόν του τριγώνου που προκύπτει αν αυξήσουμε όλες τις πλευρές του AB \Gamma κατά x.
1) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την E(x).
2) Τι μπορούμε να πούμε για το νέο τρίγωνο όταν το x τείνει στο +\infty;

Έστω a, b, c οι πλευρές του τριγώνου. Ας δηλώσουμε με s την ημιπερίμετρο αυτού. Αν αυξήσουμε όλες τις πλευρές του τριγώνου κατά x θα έχουμε a'=a+x , b'=b+x και c'=c+x. Η νέα ημιπερίμετρος θα είναι \displaystyle{s' = s + \frac{3x}{2}}.

(α) Το εμβαδόν του νέου τριγώνου θα είναι από τον τύπο του Ήρωνα:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathrm{E}(x) &= \sqrt{s' \left ( s'-a' \right )\left ( s'-b' \right )\left ( s'-c' \right )} \\  
 &= \sqrt{\left ( s + \frac{3x}{2} \right )\left ( s + \frac{3x}{2} - a - x \right ) \left ( s + \frac{3x}{2} - b - x \right )\left ( s + \frac{3x}{2} - c - x \right )}\\  
 &=\sqrt{\left ( s + \frac{3x}{2} \right ) \left ( \frac{b+c-a}{2} + \frac{x}{2} \right )\left ( \frac{a+c-b}{2} + \frac{x}{2} \right )\left ( \frac{a+b-c}{2} + \frac{x}{2} \right )} \\  
 &= \sqrt{\left ( \frac{a+b+c}{2} + \frac{3x}{2} \right ) \left ( \frac{b+c-a}{2} + \frac{x}{2} \right )\left ( \frac{a+c-b}{2} + \frac{x}{2} \right )\left ( \frac{a+b-c}{2} + \frac{x}{2} \right )}  
\end{aligned}}
Όλες οι παραστάσεις μέσα στο ριζικό είναι θετικές. Θα επικαλεστούμε το ακόλουθο λήμμα:

Λήμμα: Έστω f, g δύο γνησίως αύξουσες συναρτήσεις σε διάστημα \Delta. Αν f(x), g(x)>0 στο \Delta τότε η fg είναι γνησίως αύξουσα.

Από το λήμμα έπεται ότι η \mathrm{E} είναι γνησίως αύξουσα.


(β) Θέλουμε το όριο του εμβαδού; Αυτό απειρίζεται.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1916
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Αυξάνοντας τις πλευρές ενός τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Δευ Μάιος 25, 2020 11:56 pm

nsmavrogiannis έγραψε:
Παρ Μάιος 22, 2020 4:57 pm
Έστω τρίγωνο AB \Gamma και E(x) το εμβαδόν του τριγώνου που προκύπτει αν αυξήσουμε όλες τις πλευρές του AB \Gamma κατά x.
1) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την E(x).
2) Τι μπορούμε να πούμε για το νέο τρίγωνο όταν το x τείνει στο +\infty;
Νίκο και Απόστολε, καλησπέρα από Γρεβενά...

Για το δεύτερο ερώτημα θα μπορούσαμε να συμπληρώσουμε τα εξής:

Είναι:

\displaystyle{cosA=\frac{(b+x)^2+(c+x)^2-(a+x)^2}{2(b+x)(c+x)} \Rightarrow }

\displaystyle{cosA=\frac{x^2+2(b+c-a)x +b^2+c^2-a^2}{2(b+x)(c+x)} }

Έτσι είναι:

\displaystyle{\lim_{x\to \infty} cosA=\frac{1}{2} \Rightarrow A=60^o}

Όμοια ισχύει και για τις άλλες δύο γωνίες.

Άρα το τρίγωνο \displaystyle{ABC}, καθώς το \displaystyle{x \to \infty}, τείνει κι αυτό προς ένα ισόπλευρο τρίγωνο.


Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1916
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Αυξάνοντας τις πλευρές ενός τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Παρ Μάιος 29, 2020 10:42 am

nsmavrogiannis έγραψε:
Παρ Μάιος 22, 2020 4:57 pm
Έστω τρίγωνο AB \Gamma και E(x) το εμβαδόν του τριγώνου που προκύπτει αν αυξήσουμε όλες τις πλευρές του AB \Gamma κατά x.
1) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την E(x).
2) Τι μπορούμε να πούμε για το νέο τρίγωνο όταν το x τείνει στο +\infty;
Καλημέρα...
Συνεχίζω κλείνοντας την άποψή μου για το δεύτερο ερώτημα.

Θα προσπαθήσω να δείξω τον τρόπο σύμφωνα με τον οποίο μεταβάλλεται το τρίγωνο
αυτό όταν οι τρεις πλευρές του αυξάνονται με τον ίδιο ρυθμό.

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Αύξηση πλευρών τριγώνου 1.png
Αύξηση πλευρών τριγώνου 1.png (16.45 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές
Για το μεταβαλλόμενο τρίγωνο \displaystyle{A_iBC_i} ισχύει:

\displaystyle{B=(0,0), \  \ C_i=(a+m,0), \  \ A_i=(x,y), m \in R_{+}}

Τότε θα είναι:

\displaystyle{A_iB=c+m, \  \ BC_i=a+m, \  \ C_iA_i=b+m} όπου \displaystyle{a,b,c} οι πλευρές του τριγώνου \displaystyle{ABC}.

Με άλλα λόγια θεωρούμε την κορυφή \displaystyle{B} στην αρχή των αξόνων και την πλευρά \displaystyle{BC} να αυξάνεται κατά τη διεύθυνση
του άξονος των τετμημένων. (Αυτό θα το δείτε καλύτερα στο δυναμικό σχήμα που θα αναρτήσω)

Επομένως:

\displaystyle{\left.\begin{matrix} ((A_iB)^2=x^2+y^2=(c+m)^2\\(A_iC)^2=(x-a-m)^2+y^2=(b+m)^2 \end{matrix} \right|\  \ (1) }

Έτσι:

\displaystyle{\left.\begin{matrix} x^2+y^2=(c+m)^2\\x^2+y^2=(b+m)^2-(a+m)^2+2x(a+m) \end{matrix} \right|\  \ (2) }

Από τη (2) τελικά εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη έχουμε:

\displaystyle{x=\frac{(c+m)^2+(a+m)^2-(b+m)^2}{2(a+m)}=x(m) \  \ (3)}

και βέβαια τότε:

\displaystyle{y=\sqrt{(c+m)^2-(x(m))^2}=y(m)  \  \ (4)}

Οι σχέσεις (3) και (4) δίνουν τις παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης \displaystyle{f} κορυφής \displaystyle{A_i}.

Σύμφωνα μ' αυτές χαράχτηκε η καμπύλη \displaystyle{C_f} η οποία δεν είναι ευθεία, όπως τουλάχιστον
φαίνεται στο σχήμα.

Ύστερα από αυτά έχουμε πλήρη εικόνα της κίνησης του τριγώνου \displaystyle{A_iBC_i} το οποίο
για \displaystyle{m=0} ταυτίζεται με το \displaystyle{ABC}.

Στο δυναμικό σχήμα μπορείτε να δείτε την εξέλιξη αυτή και να δείτε και το πώς αυτό
τείνει να γίνει ισόπλευρο.
Αύξηση πλευρών τριγώνου 1.ggb
(17.98 KiB) Μεταφορτώθηκε 1 φορά
Παρατήρηση:

Όταν το \displaystyle{m} τείνει στο άπειρο τότε τα σημεία \displaystyle{A_i, C_i} τείνουν στα λεγόμενα "επ' άπειρον σημεία"
τα οποία δεν είναι σημεία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αλλά της Προβολικής Γεωμετρίας. Έτσι στην οριακή αυτή θέση η έκφραση "τρίγωνο"
με κορυφές τα δύο αυτά "επ' άπειρα σημεία" χρήζει περαιτέρω μελέτης.

Εμείς κινούμενοι στα όρια της Ευκλείδειας Γεωμετρίας λέμε συμπερασματικά και απλά για το ερώτημα αυτό:

"Το τρίγωνο \displaystyle{A_iBC_i}, καθώς το \displaystyle{m} μεγαλώνει, όλο και πλησιάζει να γίνει ένα ισόπλευρο τρίγωνο."


Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4280
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Αυξάνοντας τις πλευρές ενός τριγώνου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Μάιος 30, 2020 12:31 am

Γεια σας
Αποστόλη, Κώστα ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας.
Για το πρώτο ερώτημα έχω και εγώ την ίδια λύση.
Για το δεύτερο εκτός από εκείνη με το νόμο των συνημιτόνων του Κώστα μπορούμε να εργαστούμε και ως εξής. Οι πλευρές του νέου τριγώνου που προκύπτουν από τια a, b e;inai a+x, b+x που ο λόγος τους για x\rightarrow +\infty είναι 1. Άρα το τρίγωνο τρίνρι να γίνει ισόπλευρο.
Ας σημειωθεί ότι η διαφορά των a+x, b+x τείναι στο a-b που γενικά δεν είναι μηδέν και αυτό είναι ένα ενδιαφέρον θέμα συζήτησης στην τάξη.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες