Κυρτή Ανάλυση - Αναπαράσταση ως τομή από κλειστές μπάλες

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

BronzeP
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2020 6:41 pm

Κυρτή Ανάλυση - Αναπαράσταση ως τομή από κλειστές μπάλες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BronzeP » Δευ Μάιος 18, 2020 2:48 pm

Έστω K μη-κενό, κυρτό και συμπαγές υποσύνολο του \mathbb{R}^d. Δείξτε ότι υπάρχει οικογένεια \{ B(x_i, r_i): i \in I\} από κλειστές μπάλες τέτοια ώστε K= \bigcap _{i\in I} B(x_i, r_i).

Έχει κανένας καμία ιδέα για αυτό?
Σας ευχαριστώ.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κυρτή Ανάλυση - Αναπαράσταση ως τομή από κλειστές μπάλες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μάιος 19, 2020 10:32 pm

BronzeP έγραψε:
Δευ Μάιος 18, 2020 2:48 pm
Έστω K μη-κενό, κυρτό και συμπαγές υποσύνολο του \mathbb{R}^d. Δείξτε ότι υπάρχει οικογένεια \{ B(x_i, r_i): i \in I\} από κλειστές μπάλες τέτοια ώστε K= \bigcap _{i\in I} B(x_i, r_i).

Έχει κανένας καμία ιδέα για αυτό?
Σας ευχαριστώ.
Μα το θέμα είναι η ιδέα.
Προσπάθησε να το κάνεις στο επίπεδο.


BronzeP
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2020 6:41 pm

Re: Κυρτή Ανάλυση - Αναπαράσταση ως τομή από κλειστές μπάλες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BronzeP » Τρί Μάιος 19, 2020 11:34 pm

https://math.stackexchange.com/question ... kttjekwEig

Δεν τα κατάφερα ούτε στο επίπεδο. Βρήκα μια πιθανή λύση εδώ. Καταλαβαίνετε μήπως πως επιλέγει το k?


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κυρτή Ανάλυση - Αναπαράσταση ως τομή από κλειστές μπάλες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μάιος 20, 2020 12:15 am

BronzeP έγραψε:
Τρί Μάιος 19, 2020 11:34 pm
https://math.stackexchange.com/question ... kttjekwEig

Δεν τα κατάφερα ούτε στο επίπεδο. Βρήκα μια πιθανή λύση εδώ. Καταλαβαίνετε μήπως πως επιλέγει το k?
Η ιδέα είναι η εξής.
Αν πάρουμε ένα x\notin K
να βρούμε μια σφαίρα B_x ωστε x\notin B_x,K\subseteq B_x
Μετά είναι εύκολο.
Καλό παντως είναι να ενεργείς και μόνος σου.
Δουλεψε το και εδώ είμαστε


BronzeP
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2020 6:41 pm

Re: Κυρτή Ανάλυση - Αναπαράσταση ως τομή από κλειστές μπάλες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BronzeP » Σάβ Μάιος 30, 2020 5:53 pm

Αφού x \notin K θα υπάρχουν c\in \mathbb{R}, r>0, u \in \mathbb{R}^d με \left \| u \right \|=1 τέτοια ώστε <x,u> \geq c+r και <y,u> \leq c-r
για κάθε y στο Κ. Έστω M>0: \left \| x \right \|,\left \| y \right \| \leq M το οποίο υπάρχει διότι Κ φραγμένο.
Τότε για κάθε R>0 αρκετά μεγάλο έχουμε ότι K\subset U_{2}(-uR, (M^{2}+R^{2}+2R(c-r))^{1/2}).
Πράγματι αν y\in K τότε <y,u> \leq c-r οπότε
\left \| y-(-uR) \right \|^2=\left \| y+uR \right \|^2=\left \| y \right \|^2+2R<u,y>+\left \| R \right \|^2 \leq M^{2}+2R(c-r)+R^{2}
Από την άλλη όμως για R> \frac{M^{2}-\left \| x \right \|^2}{4r} έχουμε ότι x\notin U, όπου U η προηγούμενη ανοιχτή μπάλα. Πράγματι,
\left \| x+uR \right \|^2=\left \| x \right \|^2 +2R<x,u>+ R^2 \geq \left \| x \right \|^2 +2R(c+r)+ R^2 ποσότητα που πρέπει να είναι \geq M^{2}+2R(c-r)+R^{2}.
Ισοδύναμα R> \frac{M^{2}-\left \| x \right \|^2}{4r}.
Νομίζω αυτό δουλεύει. Προσωπικά δεν το βρήκα εύκολο. Ευχαριστώ και πάλι για την υπόδειξη.
τελευταία επεξεργασία από BronzeP σε Κυρ Μάιος 31, 2020 12:06 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κυρτή Ανάλυση - Αναπαράσταση ως τομή από κλειστές μπάλες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μάιος 30, 2020 11:29 pm

BronzeP έγραψε:
Σάβ Μάιος 30, 2020 5:53 pm
Αφού x \notin K θα υπάρχουν c\in \mathbb{R}, r>0, u \in \mathbb{R}^d με \left \| u \right \|=1 τέτοια ώστε <x,u> \geq c+r και <y,u> \leq c-r
για κάθε y στο Κ. Έστω M>0: \left \| x \right \|,\left \| y \right \| \leq M το οποίο υπάρχει διότι Κ φραγμένο.
Τότε για κάθε R>0 αρκετά μεγάλο έχουμε ότι K\subset U_{2}(-uR, (M^{2}+R^{2}+2R(c-r))^{1/2}).
Πράγματι αν y\in K τότε <y,u> \leq c-r οπότε
\left \| y-(-uy) \right \|^2=\left \| y+uy \right \|^2=\left \| y \right \|^2+2R<u,y>+\left \| R \right \|^2 \leq M^{2}+2R(c-r)+R^{2}
Από την άλλη όμως για R> \frac{M^{2}-\left \| x \right \|^2}{4r} έχουμε ότι x\notin U, όπου U η προηγούμενη ανοιχτή μπάλα. Πράγματι,
\left \| x+uR \right \|^2=\left \| x \right \|^2 +2R<x,u>+ R^2 \geq \left \| x \right \|^2 +2R(c+r)+ R^2 ποσότητα που πρέπει να είναι \geq M^{2}+2R(c-r)+R^{2}.
Ισοδύναμα R> \frac{M^{2}-\left \| x \right \|^2}{4r}.
Νομίζω αυτό δουλεύει. Προσωπικά δεν το βρήκα εύκολο. Ευχαριστώ και πάλι για την υπόδειξη.
Αυτό
BronzeP έγραψε:
Σάβ Μάιος 30, 2020 5:53 pm
Αφού x \notin K θα υπάρχουν c\in \mathbb{R}, r>0, u \in \mathbb{R}^d με \left \| u \right \|=1 τέτοια ώστε <x,u> \geq c+r και <y,u> \leq c-r
για κάθε y στο Κ.
δεν το γνωρίζω.Νομίζω όμως ότι πρέπει να ισχύει με βάση τις προυποθέσεις που έχουμε.

προφανώς στο
BronzeP έγραψε:
Σάβ Μάιος 30, 2020 5:53 pm
\left \| y-(-uy) \right \|^2=\left \| y+uy \right \|^2=\left \| y \right \|^2+2R<u,y>+\left \| R \right \|^2 \leq M^{2}+2R(c-r)+R^{2}
έχεις τυπογραφικό.
το σωστό είναι.

\left \| y-(-uR) \right \|^2=\left \| y+uR \right \|^2=\left \| y \right \|^2+2R<u,y>+ R ^2 \leq M^{2}+2R(c-r)+R^{2}

Θα σου γράψω πως θα το έκανα εγώ.
Τα θεωρώ στον \mathbb{R}^{2}.
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι x=0 και ότι το K βρίσκεται στο y>0.
(μεταφορές,στροφές)
Λόγω συμπάγειας το K θα βρίσκεται στο y>r με r>0.
Μπορούμε να βρούμε ένα a>0 ώστε το K να είναι μέσα στο τετράγωνο με κορυφές τα

(-a,r),(a,r),(a,r+2a),(-a,r+2a)

Είναι πανεύκολο τώρα να βρούμε κύκλο που περιέχει το τετράγωνο και δεν περιέχει το 0.
(αλήθεια μπορείς να τον βρεις ; )
Είναι άσκηση ρουτίνας να μεταφερθούν τα παραπάνω στον \mathbb{R}^{n}.


BronzeP
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2020 6:41 pm

Re: Κυρτή Ανάλυση - Αναπαράσταση ως τομή από κλειστές μπάλες

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BronzeP » Κυρ Μάιος 31, 2020 12:10 am

Το πρώτο επιχείρημα αποτελεί βασικό θεώρημα στα διαχωριστικά. Αν έχουμε δύο σύνολα A,B \subset \mathbb{R}^d κυρτά, μη κενά με κενή τόμη τέτοια ώστε Α συμπαγές και Β κλειστό, τότε έχουμε ότι τα Α,Β διαχωρίζονται αυστηρά.
Σε ευχαριστώ και πάλι για την υπόδειξη, καθοριστική η συμβολή σου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες