Άνω φράγμα

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11921
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Άνω φράγμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 30, 2020 7:29 am

Φράγμα.png
Φράγμα.png (14.36 KiB) Προβλήθηκε 505 φορές
Με αφορμή αυτή . Για x>0 και για a=1 ,a=2 , ισχύει :

e^x>x^a+1 , ενώ δεν ισχύει για a=3 ( δείξτε το ! ) .

Μπορούμε άραγε να βρούμε το μέγιστο άνω φράγμα για τον a , ώστε να είναι : e^x>x^a+1 , \forall x>0 ;

Σημείωση : Στο σχήμα φαίνεται ότι για a=\dfrac{5}{2} ισχύει , αντίθετα δεν ισχύει για a=e ...



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12667
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άνω φράγμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μαρ 30, 2020 9:41 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 7:29 am
Με αφορμή αυτή . Για x>0 και για a=1 ,a=2 , ισχύει :

e^x>x^a+1 , ενώ δεν ισχύει για a=3 ( δείξτε το ! ) .

Μπορούμε άραγε να βρούμε το μέγιστο άνω φράγμα για τον a , ώστε να είναι : e^x>x^a+1 , \forall x>0 ;

Σημείωση : Στο σχήμα φαίνεται ότι για a=\dfrac{5}{2} ισχύει , αντίθετα δεν ισχύει για a=e ...
Δεν ισχύει για a=3 διότι για x=2 έχουμε e^2 < 9 =2^3+1.

Για το βέλτιστο a>1 παρατηρούμε ότι για ανισότητα της μορφής  e^x>x^a+1 σίγουρα ισχύει στο διάστημα x\in (0,1) διότι e^x>x+1>x^a+1. Άρα προς έλεγχο είναι τα x\ge 1. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ισοδύναμα

\displaystyle{\ln (e^x-1) > a \ln x} που διαιρώντας με το (θετικό) \ln x δίνει \dfrac {\ln(e^x-1)}{\ln x} >a. Δηλαδή το βέλτιστο a είναι η ελάχιστη τιμή, αν υπάρχει, της \dfrac {\ln(e^x-1)}{\ln x} στο [1, \infty ]. Αυτή σίγουρα υπάρχει γιατί τα όριά της στο 1+ και +\infty είναι (άμεσο) +\infty.

Με λογισμικό βρίσκω ότι το ολικό ελάχιστο της \dfrac {\ln(e^x-1)}{\ln x} λαμβάνεται για x\approx 2,39 και η τιμή του είναι \approx 2,6327. To τελευταίο επιβεβαιώνει (όσο πιστεύουμε τον από μηχανής θεό) τους ισχυρισμούς του Θανάση ότι 2,5<a<e.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης