ακολουθια

#1

Έστω $\displaystyle{ u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-5/2, u_0=2 , u_1=5/2}$

Να βρεθεί ο νιοστός όρος της ακολουθίας $\displaystyle{[u_n]}$ ως συνάρτηση του $\displaystyle{n}$
[x]=ακέραιο μέρος του χ
Παλιά Ολυμπιάδα

#2

$\displaystyle{u_0=1+1,u_1=2+1/2,u_2=2+1/2,...}$
Θέτω λοιπόν $\displaystyle{u_n=x_n+1/x_n}$ αντικαθιστώντας παίρνω
$\displaystyle{x_{n+1}+1/x_{n+1}=x_nx_{n-1}^2+\frac{1}{x_nx_{n-1}^2}+\frac{x_n}{x_{n-1}^2}+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}-5/2}$
Υποψιάζομαι ότι $\displaystyle{x_{n+1}=x_nx_{n-1}^2,x_0=1,x_1=2}$ [1]
για να ισχύει θα πρέπει η ακολουθία που επαληθεύει την [1] να επαληθεύει την
$\displaystyle{\frac{x_n}{x_{n-1}^2}+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}-5/2=0}$ [2]
ή
$\displaystyle{(\frac{x_n}{x_{n-1}^2}-2)(\frac{x_n}{x_{n-1}^2}-1/2)=0,x_0=1,x_1=2}$
ή
$\displaystyle{\frac{x_n}{x_{n-1}^2}=2}$ η $\displaystyle{\frac{x_n}{x_{n-1}^2}=1/2}$ [3]
χωρίζω στις υπακολουθιες άρτιων και περιττών δεικτών οπότε η [3] γίνεται
$\displaystyle{\frac{x_{2n+1}}{x_{2n}^2}=2 , \frac{x_{2n+2}}{x_{2n+1}^2}=1/2 , x_0=1 , x_1=2}$ [4]
με πολλαπλασιασμό κατά μέλη έχουμε
$\displaystyle{x_{2n+2}=x_{2n+1}x_{2n}^2}$ που δεν είναι άλλη από την [1]αν όπου $\displaystyle{n}$ θέσουμε το $\displaystyle{2n}$ συνεπώς το πρώτο σκέλος της [4] ισχύει και όμοια δείχνουμε και το δεύτερο
καταλήξαμε λοιπόν στο
$\displaystyle{u_n=x_n+1/x_n , x_{n+1}=x_nx_{n-1}^2 , x_0=1 , x_1=2}$
εύκολα δείχνουμε ότι $\displaystyle{x_n\ge 2\Rightarrow [u_n]=x_n}$
Λογαριθμίζουμε με βάση το 2 κι έτσι
$\displaystyle{log_2x_{2n+1}=1+2log_2x_{2n} , log_2x_{2n+2}=-1+2log_2x_{2n+1}}$
άρα
$\displaystyle{y_{2n+2}=1+4y_{2n} , y_{2n+1}=-1+4y_{2n-1} , y_n=log_2x_n}$
οπότε έχουμε 2 γραμμικές 1ης τάξεως ακολουθίες και βρίσκουμε κατά τα γνωστά
$\displaystyle{y_{2n}=1/3(2^{2n}-1)=1/3(2^{2n}-(-1)^{2n})}$ ,
$\displaystyle{y_{2n-1}=1/3(2^{2n-1}+1)=1/3(2^{2n-1}-(-1)^{2n-1})}$
Τότε $\displaystyle{y_n=1/3(2^n-(-1)^n) \Rightarrow [u_n]=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

R BORIS έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 28, 2020 11:28 am
Έστω $\displaystyle{ u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2) , u_0=2 , u_1=5/2}$

Να βρεθεί ο νιοστός όρος της ακολουθίας $\displaystyle{[u_n]}$ ως συνάρτηση του $\displaystyle{n}$
[x]=ακέραιο μέρος του χ
Παλιά Ολυμπιάδα

R BORIS έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 01, 2020 6:57 pm
$\displaystyle{u_0=1+1,u_1=2+1/2,u_2=8+1/8,...}$

κάτι δεν πάει καλά.
Είναι
$\displaystyle u_{2}=u_1(u_{0}^2-2)=\frac{5}{2}(4-2)=5$

μάλλον υπάρχει τυπογραφικό.

#4

Όντως υπήρχε τυπογραφικό το-5/2 στην αρχική σχέση της εκφώνησης $\displaystyle{u_2=5/2...}$
To διόρθωσα
Σταυρο ευχαριστώ!

ακολουθια

ακολουθια

Re: ακολουθια

Re: ακολουθια

Re: ακολουθια

Μέλη σε σύνδεση